Показательные уравнения. Решение показательных уравнений: алгоритм, методы решения, примеры.

Обычно считают, что показательные уравнения – это уравнения, в которых переменная содержится в показателе степени. Например, 5^x−3=25, 4^x−5·2^x+4=0, , - это все показательные уравнения.

Заметим, в вопросе «что такое показательные уравнения» нет строгого единства. Этому свидетельствует тот факт, что определения показательных уравнений, встречающиеся в школьных учебниках и другой математической литературе, отличаются одно от другого. Отличия эти не принципиальные, а касающиеся деталей. При этом взгляд на показательные уравнения как на уравнения с неизвестной величиной в показателе степени является своего рода компромиссным вариантом.

За более детальной информацией обращайтесь к статье «Что такое показательные уравнения». В ней даны определения показательных уравнений из разных учебников, на примерах разобраны различия между ними, приведены примеры показательных уравнений с несколькими переменными и с параметром.

К началу страницы

Простейшие показательные уравнения – это уравнения a^x=b, где a и b – числа или числовые выражения, причем a>0 и a≠1. Например, 4^x=16, (0,6)^x=1, , - это простейшие показательные уравнения.

Особую важность с практической точки зрения имеют простейшие показательные уравнения, имеющие вид a^x=a^c, a>0, a≠1, c – некоторое действительное число (это частный случай уравнений a^x=b при b=a^c). Вот примеры таких простейших показательных уравнений: 2^x=2⁰, (0,3)^x=(0,3)^−0,1, и др.

Решение простейших показательных уравнений базируется на следующих утверждениях:

• Если b<0 или b=0, то простейшее показательное уравнение a^x=b, a>0, a≠1 не имеет решений. Например, простейшие показательные уравнения 4^x=−1 и (0,5)^x=0 не имеют решений.
• Если b>0, то уравнение a^x=b, a>0, a≠1 имеет единственный корень x=log_ab, где log_ab – логарифм числа b по основанию a. Приведем пример: простейшее показательное уравнение 2^x=7 имеет единственный корень x=log₂7.

В частности, простейшее показательное уравнение a^x=a^c, a>0, a≠1, c – некоторое действительное число, имеет единственный корень x=c. Например, уравнение 3^x=3⁻⁴ имеет единственный корень x=−4.

Умение решать простейшие показательные уравнения является одним из самых важных навыков, необходимых для решения более сложных показательных уравнений. Дело в том, что решение показательных уравнений почти всегда сводится к решению одного или нескольких простейших показательных уравнений. Так что с решением простейших показательных уравнений нужно разобраться очень детально. В этом Вам поможет материал «Простейшие показательные уравнения и их решение».

К началу страницы

Чтобы решить показательное уравнение, надо

1. выбрать подходящий метод решения показательного уравнения,
2. провести решение выбранным методом.

К началу страницы

Для решения показательных уравнений используются практически все методы решения уравнений.

Из списка методов стоит выделить метод уравнивания показателей и метод логарифмирования. Эти методы изучаются именно в рамках разговора про показательные уравнения и преимущественно используются для решения именно показательных уравнений. Остальные методы списка обычно уже хорошо известны к моменту изучения показательных уравнений (кроме метода потенцирования, который больше относится к логарифмическим уравнениям, но, бывает, используется и для решения показательных уравнений, в записи которых присутствуют логарифмы).

Но владение методами решения показательных уравнений должно дополняться умением выбирать подходящий для решения метод. Выработать это умение помогают рекомендации по выбору метода решения показательного уравнения.

К началу страницы

Закрепим теорию практикой, то есть, рассмотрим примеры решения показательных уравнений. На них мы разберем все основные нюансы, возникающие при использовании того или иного метода решения показательных уравнений.

Начнем с примеров решения простейших показательных уравнений. В первом примере главный интерес представляют рассуждения, обосновывающие отсутствие корней у простейших показательных уравнений с отрицательными числами в правых частях.

Во втором примере показано, как оформлять решение простейших показательных уравнений с нулями в правых частях.

Вот пример решения простейших показательных уравнений, в обеих частях которых находятся степени с одинаковыми основаниями.

Простейшие показательные уравнения в следующем примере требуют изначального приведения уравнения к виду a^x=a^c.

Следующие простейшие показательные уравнения имеют положительное число в правой части и решаются через логарифм.

Теперь сосредоточимся на решении показательных уравнений методом уравнивания показателей. В первом примере внимание сосредоточим на самом методе.

Для решения следующего показательного уравнения методом уравнивания показателей достаточно вспомнить, что число можно рассматривать как степень этого числа с показателем 1.

Для закрепления метода уравнивания показателей предлагаем рассмотреть еще один пример решения показательного уравнения.

Дальше на примерах разберем, как проводится решение показательных уравнений методом разложения на множители.

Часто перед применением метода разложения на множители требуется провести некоторые преобразования показательного уравнения, чтобы получить произведение в левой части уравнения и нуль в правой части. Решим такой пример.

Теперь разберем на примерах, как проводится решение показательных уравнений методом введения новой переменной. Начнем с решения показательного уравнения, в записи которого переменная фигурирует только в составе одинаковых выражений.

Метод введения новой переменной используется и для решения показательных уравнений, переменная в которых находится в составе степеней с противоположными показателями. Вот пример решения такого показательного уравнения.

Есть и другие типичные показательные уравнения, решающиеся методом введения новой переменной. Вот характерные примеры с решениями.

Решение многих показательных уравнений упирается в проведение преобразований. Для показательных уравнений наиболее характерны преобразования, базирующиеся на свойствах степеней и на связи корней со степенями. В статье «Решение показательных уравнений через преобразования» Вы найдете массу соответствующих примеров с решениями.

Некоторые показательные уравнения в результате проведения преобразований могут сводиться к числовым равенствам. В статье «Решение показательных уравнений, сводящихся к числовым равенствам» дан принцип их решения. Решение двух показательных уравнений, первое из которых сводится к неверному числовому равенству, а второе – к верному, приведем здесь.

Показательные уравнения, в левой части которых находится некоторая дробь, а в правой – число 0, на области допустимых значений для этих уравнений заменяются уравнениями «числитель равен нулю». Вот примеры решения характерных показательных уравнений из статьи «Решение показательных уравнений дробь равна нулю».

Переходим к примерам решения показательных уравнений h(f(x))=h(g(x)) методом освобождения от внешней функции h. Главная сложность при их решении, обычно, заключается в том, чтобы разглядеть соответствующую структуру уравнения и обосновать, что внешняя функция принимает каждое свое значение по одному разу. За более полной информацией обращайтесь к материалу «Решение показательных уравнений методом освобождения от внешней функции», а вот соответствующий пример с решением.

Стоит привести пример решения показательного уравнения методом логарифмирования. Обычно методом логарифмирования решают показательные уравнения, части которого представляют собой степени, произведения или частные степеней, возможно, с числовыми коэффициентами. Дополнительный материал по теме есть в статье «Решение показательных уравнений методом логарифмирования». Сейчас приведем типовое решение показательного уравнения методом логарифмирования.

Иногда получить решение показательного уравнения позволяет ОДЗ. Это касается случаев, когда ОДЗ состоит из нескольких чисел или является пустым множеством. Подробнее об этом написано в статье «Решение показательных уравнений через ОДЗ». Здесь же нас интересует пример решения характерного показательного уравнения.

Остается рассмотреть примеры решения показательных уравнений каждым из направлений функционально-графического метода – графическим методом, через возрастание-убывание и методом оценки.

К решению показательных уравнений графическим методом обычно прибегают тогда, когда не видно других более простых методов решения и довольно легко построить графики функций, отвечающих частям уравнения. Этим условиям удовлетворяет показательное уравнение в следующем примере.

Решение показательных уравнений через возрастание-убывание обычно проводится тогда, когда очевиден или легко подбирается корень показательного уравнения и при этом очевидно или легко обосновывается, что одна из функций, отвечающих частям уравнения, возрастает, а другая – убывает. Вот соответствующий пример с типовым решением.

Наконец, приведем примеры решения показательных уравнений методом оценки. За теорией обращайтесь к статье «Решение показательных уравнений методом оценки».