Метод логарифмирования
Один из методов решения уравнений – это метод логарифмирования. Сейчас мы детально разберем его с теоретической и практической стороны. Сначала покажем, когда применяется метод логарифмирования. Дальше дадим суть метода логарифмирования. После этого перейдем к теоретическому обоснованию. Затем запишем алгоритм решения уравнений методом логарифмирования. Наконец, рассмотрим примеры применения метода при решении уравнений.
Когда применяется
Метод логарифмирования обычно применяется для решения уравнений, логарифмирование обеих частей которых позволяет избавиться от переменной в показателях степеней. Если привязываться к внешнему виду, то такими, в основном, являются:
- Уравнения, в одной части которых находится степень с переменной в показателе, произведение или частное таких степеней, возможно с положительным числовым коэффициентом, а в другой части – положительное число. В качестве примера приведем уравнение xlgx−1=100.
-
Уравнения, в обеих частях которых находятся степени с переменной в показателях, произведение или частное таких степеней, возможно с положительными числовыми коэффициентами. Таким, например, является уравнение
.
В частности, метод логарифмирования можно применять для решения показательных уравнений af(x)=b и af(x)=ag(x), где a и b – числа, причем a>0, a≠1, b>0, а f(x) и g(x) – выражения с переменной x. Например, методом логарифмирования можно решать показательные уравнения 2x=5, (0,7)x+2=(0,7)4·x2−7, 51−x=53·lgx и т.п. Однако для решения таких уравнений обычно используют метод уравнивания показателей.
Суть метода логарифмирования
Суть метода логарифмирования состоит в логарифмировании обеих частей уравнения по одному и тому же основанию.
Это объясняет название метода.
Обоснование метода
В основе метода логарифмирования лежит следующая теорема:
Теорема
Множество решений уравнения u(x)=v(x), где u(x)>0 и v(x)>0 при любом значении переменной x из области допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения, совпадает с множеством решений уравнения logcu(x)=logcv(x), где c – положительное и отличное от единицы число.
Доказательство
Нам достаточно показать, что любой корень уравнения u(x)=v(x) является корнем уравнения logcu(x)=logcv(x), и обратно.
Для доказательства нам потребуется следующее свойство логарифмов: логарифмы двух положительных чисел a и b по одному и тому же положительному и отличному от единицы основанию c равны тогда и только тогда, когда равны числа a и b.
Пусть x0 – корень уравнения u(x)=v(x). Тогда u(x0)=v(x0) – верное числовое равенство. Так как по условию u(x)>0 и v(x)>0 при любом значении переменной x из ОДЗ для этого уравнения, то u(x0) и v(x0) – положительные числа. Следовательно, в силу озвученного выше свойства из равенства u(x0)=v(x0) вытекает равенство logcu(x0)=logcv(x0). Из него следует, что x0 – корень уравнения logcu(x)=logcv(x).
Теперь обратно. Пусть x0 – корень уравнения logcu(x)=logcv(x). Тогда logcu(x0)=logcv(x0) – верное числовое равенство. Из него и из указанного выше свойства логарифмов следует, что u(x0)=v(x0). А из этого равенства вытекает, что x0 – корень уравнения u(x)=v(x).
Теорема доказана.
Алгоритм решения уравнений методом логарифмирования
Информация из предыдущих пунктов позволяет записать алгоритм решения уравнений методом логарифмирования.
Чтобы решить уравнение методом логарифмирования, надо
- Убедиться, что выражения, отвечающие частям уравнения, принимают положительные значения при любом значении переменной из ОДЗ для исходного уравнения.
- Прологарифмировать обе части уравнения по одному и тому же положительному и отличному от единицы основанию.
- Решить полученное уравнение. Его решение является решением исходного уравнения.
Какое число брать в качестве основания при логарифмировании? По большому счету, это не имеет значения. Понятно, что целесообразно брать такое основание, при котором дальнейшие действия будут наиболее простыми. Например, уравнение 5x2+5=5−6·x стоит логарифмировать по основанию 5, так как это дает наиболее простое решение: 5x2+5=5−6·x, log55x2+5=log55−6·x, x2+5=−6·x, ... Если выбрать любое другое основание, например, 10, то мы придем к такому же результату, но за большее число шагов: 5x2+5=5−6·x, lg5x2+5=lg5−6·x, (x2+5)·lg5=(−6·x)·lg5, x2+5=−6·x, …
Примеры применения
Осталось посмотреть, как метод логарифмирования применяется на практике. Для этого обратимся к конкретным примерам.
Пример
Решите уравнение 
методом логарифмирования.
Решение
Заданное уравнение представляет собой равенство двух степеней с положительными и отличными от единицы основаниями. Такие степени принимают только положительные значения, что следует из определения степени. Все это открывает дорогу для решения заданного уравнения методом логарифмирования.
Так как основаниями степеней в исходном уравнении являются числа 3, то логарифмирование целесообразно проводить по основанию 3. Логарифмирование обеих частей уравнения по основанию 3 дает уравнение 
. Оно с опорой на свойства логарифмов приводится к уравнению 
. Полученное уравнение равносильно исходному. Поэтому, решив его, мы получим нужное нам решение уравнения .
Итак, все свелось к решению уравнения . Виден общий множитель 
, который стоит вынести за скобки. Также не помешает избавиться от дроби. Это подталкивает начинать решение по методу решения уравнений через преобразования:
Все проделанные преобразования являются равносильными преобразованиями, поэтому, полученное уравнение равносильно уравнению, которое было до проведения этих преобразований. Полученное уравнение 
, очевидно, можно решить методом разложения на множители:
Первое уравнение 
- иррациональное с тривиальным решением 0. Второе уравнение 2x−4=0 переносом четверки в правую часть приводится к простейшему показательному уравнению 2x=4 с легко находящимся единственным корнем 2 (2x=4, 2x=22, x=2). Завершающим этапом метода разложения на множители является проверка найденных корней. Проведем проверку подстановкой: оба найденных корня 0 и 2 удовлетворяют уравнению , значит, являются его корнями. Таким образом, уравнение имеет два корня 0 и 2.
Остается сослаться на равносильность уравнения уравнению , которое в свою очередь равносильно исходному уравнению , и записать найденные корни в ответ.
Ответ:
0, 2.
При решении следующего уравнения покажем, как правильно проводить логарифмирование по основанию с переменной.
Больше примеров по теме Вы найдете в статье «Решение показательных уравнений методом логарифмирования».