Что такое показательные уравнения? Определения, примеры.

Про f(x) и g(x) в этом определении ничего не сказано, но и так понятно, что это некоторые выражения с переменной x.

Давайте подберем несколько примеров уравнений, подходящих под приведенное определение. Они добавят наглядности. Возьмем их из указанного учебника.

Начнем с типичного представителя: 5^x2−3·x=5^3·x−8. Это показательное уравнение. Действительно. Оно имеет вид , в нашем случае a=5, f(x)=x²−3·x, g(x)=3·x−8, значит, по записанному выше определению оно является показательным.

Следующий пример: 2^2·x−4=64. Вид этого уравнения отличен от . Значит, под первую часть записанного в этом пункте определения данное уравнение не попадает. Однако, оно попадает под вторую часть определения, так как может быть сведено к виду путем представления числа 64 в виде шестой степени двойки. Таким образом, согласно записанному в этом пункте определению, уравнение 2^2·x−4=64 является показательным.

Аналогично, показательными являются уравнения , , , так как все они могут быть сведены к уравнениям вида . Первое – к уравнению , второе – к 5^−x=5^5−2·x, третье – к .

Наконец, приведем в пример показательное уравнение с переменной в показателе корня. Это уравнение сводится к уравнению , которое нужно решать на множестве всех натуральных чисел без единицы. С решением подобных уравнений будем разбираться отдельно.

Очевиден главный недостаток разбираемого определения: оно во многих случаях не позволяет по внешнему виду уравнения ответить на вопрос, является ли данное уравнение показательным, или нет. Последние примеры хорошо это иллюстрируют.

Также существует ряд нюансов, связанных с данным определением. Первый из них связан с уравнениями a^x=−b, где −b –отрицательное число. Например, таким является уравнение 2^x=−6. С подобными уравнениями приходится постоянно сталкиваться при решении показательных уравнений. Однако, такие уравнения не попадают под записанное в этом пункте определение показательного уравнения. О таких уравнениях будет подробный разговор, здесь пока ограничимся замечанием, что они не имеют решений.

Перейдем к следующему нюансу. Для его пояснения обратимся к двум уравнениям (2^x+2)·(2^x−2²)=0 и (2^x−2)·(2^x−2²)=0. Не правда ли, они похожи как братья близнецы? Но первое из этих уравнений сводится к одному показательному уравнению 2^x=2² (по методу разложения на множители уравнение (2^x+2)·(2^x−2²)=0 равносильно совокупности двух уравнений 2^x=−2 и 2^x=2², которая равносильна второму ее уравнению 2^x=2², так как первое ее уравнение 2^x=−2 не имеет решений, о чем мы сказали в предыдущем абзаце). Значит, по определению уравнение (2^x+2)·(2^x−2²)=0 - показательное. А второе уравнение (2^x−2)·(2^x−2²)=0 сводится не к одному уравнению, а к совокупности двух уравнений 2^x=2 и 2^x=2². Поэтому, оно формально не попадает под определение показательного уравнения. Так что же получается: уравнение (2^x+2)·(2^x−2²)=0 - показательное, а (2^x−2)·(2^x−2²)=0 - нет?

Из-за оговоренных моментов хочется поискать другое определение.

К началу страницы

В учебнике Колягина Ю. М. мы узнаем про то, что такое показательные уравнения, из следующего предложения: «… показательных уравнений, т. е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени [2, с. 216].

По данному определению очень легко идентифицировать показательные уравнения: достаточно посмотреть, есть переменная в показателе степени или нет.

Давайте для наглядности выпишем несколько показательных уравнений из соответствующего параграфа упомянутого учебника: 4·2^x=1, 2^3·x·2^x=576, 5^x+5^2−x−26=0. Там присутствует показательное уравнение с модулем . Там же фигурирует показательное уравнение с параметром (a−1)·3^2·x−(2·a−1)·3^x−1=0. Автор также приводит уравнение, в котором переменная есть и в основании и в показателе степени: (x−3)^{3·x2−10·x+3}=1. Это уравнение попадает под приведенное определение показательных уравнений. Решение подобных уравнений разобрано в статье «Решение показательно-степенных уравнений». А вот уравнение не содержит переменную в показателе степени, значит, не является показательным. Однако приведено его решение через переход к показательному уравнению .

Итак, если опираться на разобранное определение, то нам достаточно одного взгляда на уравнение, чтобы сделать вывод о том, является оно показательным или нет. В этом его неоспоримое удобство.

К началу страницы

Здесь автор говорит о простейших показательных уравнениях: «Рассмотрим простейшее показательное уравнение a^x=b, где a>0 и a≠1» [3, с. 229]. Что из себя представляют остальные (не простейшие) показательные уравнения приходится додумывать самостоятельно, правда, в этом помогают приведенные ниже примеры: 5^{x2−2·x−1}=25, 4^x−5·2^x+4=0, и т.д.

К началу страницы

Формулировку с таким же смыслом мы уже встречали в текущей статье. Примеры показательных уравнений в этом учебнике, естественно, аналогичные: 3^x=2^x−1, 5^xx−6−1=0 и т.п. Видны уравнения с переменной не только в степени, но и под корнем: . Также присутствуют уравнения с переменной в показателе корня: .

К началу страницы

Вот примеры показательных уравнений из этого справочника: 3^x·9^x=81, 5^2·x+1+2·5^2·x+5^2·x−1=900.

Условие о переменной только в показателях степеней не позволяет считать показательными, например, уравнения 2^x=1−x, и т.п. В первом из них переменная в правой части находится не в показателе степени. Во втором уравнении тоже есть переменная, находящаяся не в показателе степени – это переменная в показателе корня.

Условие, относящееся к основаниям степеней, исключает из списка показательных уравнений уравнения с переменными и в основаниях и в показателях степеней, то есть, упоминавшееся выше показательно-степенное уравнение (x−3)^{3·x2−10·x+3}=1 и ему подобные.

К началу страницы

Этот вопрос является открытым, так как определений много, и какое-то уравнение может подходить под одно определение и не подходить под другое. Главное, на что стоит ориентироваться, это на переменную в показателе. Если переменной в показателе нет, то уравнение точно не показательное.

Как не попасть впросак из-за названия? Можно называть показательными только такие уравнения, которые подходят под все без исключения определения. Но разве на всех угодишь? Проще называть уравнение просто уравнением без уточнения видовой принадлежности. В пользу этого выступает тот факт, что на практике нас больше интересует решение уравнения, а не его название. Тогда зачем вообще все эти названия? В данном случае можно считать, что для удобства группировки и описания материала. Существуют общие принципы работы со всеми фигурирующими в этой статье уравнениями вне зависимости от того, считает ли их кто показательными или нет. Поэтому удобно подобные уравнения изучать в рамках одной группы - группы показательных уравнений.

К началу страницы

Подавляющее число показательных уравнений, встречающихся в школе, - это уравнения с одной переменной. Однако ничто не мешает по аналогии говорить про показательные уравнения с двумя и большим количеством переменных. Они также встречаются на страницах школьных учебников и задачников, но обычно в составе систем уравнений. Например, систему составляют два показательных уравнения с двумя переменными.