Решите уравнение .

Перед нами, очевидно, показательное уравнение. Каким методом его решать? Давайте перебирать известные нам методы решения показательных уравнений, прикидывая возможность их использования. Сразу отметаем метод уравнивания показателей, так как вид уравнения отличен от a^f(x)=a^g(x). Не подходит нам и метод введения новой переменной, так как не видно одинаковых выражений, которые можно было бы заменить новой переменной. Метод разложения на множители тоже не подходит, так как нет возможности привести уравнение к соответствующему виду: произведение – слева, нуль - справа. Может нужно как-то преобразовать уравнение, чтобы можно было применить какой-либо метод из перечисленных выше? Преобразования не просматриваются. А что насчет метода логарифмирования? Вид уравнения подходящий: слева – степень, справа – степень с положительным числовым коэффициентом. Очевидно, обе части уравнения принимают только положительные значения. Это открывает дорогу к логарифмированию. Давайте пробовать.

По какому основанию будем проводить почленное логарифмирование уравнения? Давайте возьмем одно из оснований степеней, фигурирующих в исходном уравнении, например, число 2. Логарифмирование обеих частей уравнения по основанию 2 дает уравнение . Остается решить полученное уравнение, это даст нужное нам решение.

Свойства логарифмов позволяют провести ряд равносильных преобразований уравнения:

Последнее уравнение путем переноса слагаемых сводится к квадратному уравнению . Вычисляем его дискриминант:

Несложно обосновать, что дискриминант отрицательный (см. оценка значений числовых выражений):

Следовательно, квадратное уравнение не имеет решений. Значит, не имеет решений и исходное показательное уравнение.

нет решений.