Методы решения показательных уравнений. Рекомендации по выбору метода.

Для решения показательных уравнений используются практически все известные методы решения уравнений.

Разговор про решение показательных уравнений начинается со знакомства с простейшими показательными уравнениями и методом их решения. По этой причине первым по списку идет метод решения простейших показательных уравнений. Хотя он по сути является комбинацией нескольких других методов из приведенного списка.

Дальше следует метод уравнивания показателей. Его можно назвать характерным методом решения показательных уравнений, так как он преимущественно относится к уравнениям этого вида. Изучается метод уравнивания показателей, естественно, в рамках темы «Показательные уравнения и их решение».

Метод логарифмирования – это еще один характерный метод решения показательных уравнений. Несмотря на это, он обычно добавляется в арсенал методов решения показательных уравнений чуть ли не в последнюю очередь. Это связано с тем, что он связан с логарифмами, а в современных программах (на 2020 год) логарифмы изучаются после показательных уравнений.

Все остальные методы решения показательных уравнений, кроме двух последних из приведенной выше таблицы, обычно уже изучены к началу разговора о показательных уравнениях и не нуждаются в дополнительном представлении.

Метод потенцирования больше относится к логарифмическим уравнениям, а не к показательным. Однако он может быть полезен и при решении показательных уравнений, в записи которых присутствуют логарифмы. Аналогично, метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень является характерным методом решения иррациональных уравнений, но он используется для решения некоторых показательных уравнений, в записи которых присутствуют радикалы.

В заключение стоит напомнить про специфические методы решения уравнений, так как всегда можно столкнуться с показательным уравнением, которое не решается привычными методами.

К началу страницы

Методов решения показательных уравнений довольно много. По этой причине возникает вопрос: «Какой метод использовать для решения заданного показательного уравнения»? В простых случаях ответить на него позволяет анализ внешнего вида заданного показательного уравнения и его структуры. Сейчас мы приведем соответствующие рекомендации по выбору метода решения показательного уравнения на основании его внешнего вида и структуры записи.

Первая рекомендация относится к показательным уравнениям, в левой части которых находится степень a^x, где a – число или числовое выражение, причем, a>0, a≠1, а в правой части – некоторое число или числовое выражение. Вот примеры таких показательных уравнений: 2^x=−7, (0,7)^x=0, , и т.п. Это простейшие показательные уравнения. Они решаются методом, который подробно описан в статье «Простейшие показательные уравнения и их решение». В ней приведены решения приведенных в пример в этом абзаце показательных уравнений и многих других.

Следующая рекомендация касается показательных уравнений, в обеих частях которых находятся степени одного и того же числа, то есть, она касается уравнений a^f(x)=a^g(x), где a – число или числовое выражение, a>0, a≠1. Например, такую структуру имеют показательные уравнения , , . Они обычно решаются методом уравнивания показателей. Решения записанных уравнений приведены в материале «Решение показательных уравнений методом уравнивания показателей».

Показательные уравнения a^f(x)=b при b<0 или b=0 можно решать таким же методом, каким решаются похожие на них простейшие показательные уравнения a^x=b при b<0 или b=0. То есть, можно сразу утверждать, что показательное уравнение a^f(x)=b при b<0 или b=0 не имеет решений, так как для любого x из ОДЗ a^f(x)>0, а b<0 или b=0. Приведем примеры таких показательных уравнений: 4^3·x−1=−7, (0,1)^x2+2·x−3=0.

Показательные уравнения a^f(x)=b при b>0 рекомендуется решать через преобразование уравнения к виду a^f(x)=a^c и дальнейшее использование метода уравнивания показателей. То есть, метод решения таких уравнений аналогичен методу решения простейших показательных уравнений a^x=b при b>0. Например, так стоит решать показательные уравнения 2^x2−1=8, и подобные им по форме записи.

Для решения показательных уравнений, в левых частях которых находятся произведения, а в правых – нули, применяется метод разложения на множители. Приведем пример. Очевидно, в левой части показательного уравнения находится произведение трех множителей, в правой – число 0. Значит, это уравнение стоит решать методом разложения на множители. Подробное решение этого уравнения смотрите в статье «Решение показательных уравнений методом разложения на множители».

Если в записи показательного уравнения переменная присутствует только в составе одинаковых выражений, то для его решения применяется метод введения новой переменной. Например, в показательном уравнении переменная находится только в составе степеней 2^x. Значит, есть смысл ввести новую переменную t=2^x. Также метод введения новой переменной применяется при решении показательных уравнений в следующих характерных ситуациях:

• Переменная фигурирует только в составе степеней с одинаковыми числовыми основаниями и противоположными показателями. Для наглядности приведем такое уравнение: .
• В показательном уравнении переменная находится только в составе степеней, основаниями которых являются сопряженные выражения, а показателями – одинаковые выражения с переменной. Под эту ситуацию подходит показательное уравнение .
• Степени в показательном уравнении имеют одинаковые числовые основания и кратные показатели с переменной. Например, .
• Основания степеней являются натуральными степенями какого-либо положительного и отличного от единицы числа, а показатели являются одинаковыми выражениями с переменной. Данную ситуацию иллюстрирует показательное уравнение 25^x+9·5^x−10=0.
• Решаемое показательное уравнение является однородным уравнением второй или более высокой степени относительно каких-либо степеней. Вот пример показательного уравнения, однородного относительно степеней 10^x и 2^x: (10^x)²+9·10^x·2^x−10·(2^x)²=0. Здесь необходимо заметить, что введению новой переменной предшествует деления обеих частей уравнения на «старшую» степень.

За более детальной информацией обращайтесь к материалу «Решение показательных уравнений методом введения новой переменной».

Следующая рекомендация относится к решению показательных уравнений, в левой части которых находятся некоторые дроби, а в правой – нули. Вот примеры таких показательных уравнений: , , . Они решаются по методу решения уравнений «дробь равна нулю». Примеры решения показательных уравнений смотрите в статье «Решение показательных уравнений f(x)/g(x)=0».

Если приведенные выше рекомендации не помогают определиться с методом решения показательного уравнения, то есть, уравнение имеет неподходящий вид, то не помешает изучить возможность преобразования этого уравнения к подходящему виду. На необходимость начинать решение показательного уравнения с проведения преобразований могут указывать следующие внешние признаки:

• Наличие нескольких степеней с одинаковыми основаниями, но разными показателями. Например, 2^x+1·2^x·2^x−5=2², , 2^x+1+5·2^x−2=13, .
• Присутствие степеней с одинаковыми показателями, но разными основаниями. Вот примеры соответствующих показательных уравнений: 5·2^x−10^x=0, 2^x·3^x=6⁻², .
• Наличие степеней в степенях. В качестве примера приведем показательное уравнение .
• В записи показательного уравнения фигурируют корни из степеней и/или корни из чисел. Например, , , и т.п.
• Присутствие чисел, представляющих собой некоторые целые степени одного и того же числа. Проиллюстрировать сказанное позволяет показательное уравнение , в его записи 8=2³, 0,5=2⁻¹, 1=2⁰.
• Наличие составных чисел в основаниях степеней. Приведем примеры таких показательных уравнений: 5·2^x−10^x=0, 2^5·x−1·3^4·x+1·7^3·x+3=504^x−2.

Здесь уместно дать ссылку на статью «Решение показательных уравнений через преобразования». В ней на разобраны характерные преобразования показательных уравнений, и приведена масса примеров с решениями.

Следующая рекомендация адресована показательным уравнениям, в обеих частях которых находятся степени или произведения степеней с разными основаниями и разными показателями, возможно, с числовыми коэффициентами. Подобные показательные уравнения удобно решать методом логарифмирования. Например, под приведенное описание попадает показательное уравнение 2^x2+7=3·7^x, его решение разобрано в статье «Решение показательных уравнений методом логарифмирования».

Если удается разглядеть, что показательное уравнение имеет вид h(f(x))=h(g(x)), то стоит прикинуть возможность провести решение методом освобождения от внешней функции h. В качестве примера приведем показательное уравнение . Для его решения необходимо, во-первых, увидеть структуру h(f(x))=h(g(x)), здесь f(x)=49^x+7, g(x)=8·7^x, h – такая функция, что h(t)=2^t3+5·3^2·t+1, и, во-вторых, доказать, что функция h принимает каждое свое значение только один раз. Это открывает дорогу к его решению методом освобождения от внешней функции. За подробностями можно обратиться к материалу «Решение показательных уравнений методом освобождения от внешней функции».

Когда в записи показательного уравнения фигурируют знаки радикалов, то для его решения могут потребоваться методы, характерные для иррациональных уравнений. Например, на начальном этапе уравнение стоит решать методом возведения обеих частей уравнения в квадрат.

Аналогично, когда уравнение является показательным не больше, чем логарифмическим, могут потребоваться методы решения, характерные для логарифмических уравнений. Например, для решения уравнения полезен метод потенцирования.

В более сложных ситуациях одного анализа внешнего вида показательного уравнения может оказаться недостаточно для определения подходящего метода решения. Тогда приходится делать дополнительные прикидки и выполнять вспомогательные операции. Здесь имеют место следующие рекомендации:

• Когда частям показательного уравнения отвечают функции, довольно простые в плане построения их графиков, то можно пробовать провести решение графическим методом. Например, стоит пытаться решить графически показательное уравнение , потому что, во-первых, не видно альтернативных более простых методов решения, и, во-вторых, достаточно легко построить графики функций, отвечающие частям уравнения. Рекомендуем ознакомиться с более детальным материалом по этой теме: «Решение показательных уравнений графическим методом».
• Иногда бывает очевиден корень показательного уравнения, или он легко подбирается. При этом полезно изучить вопрос монотонности функций, отвечающих частям решаемого уравнения. Если оказывается, что одна из функций возрастает, а другая – убывает, то уравнение оказывается фактически решено методом решения уравнений через возрастание-убывание. Вот пример показательного уравнения, которое можно решить, основываясь на возрастании-убывании: . Решение этого уравнения разобрано в статье «Решение показательных уравнений через возрастание-убывание».
• Если очевидны оценки значений выражений, отвечающих частям решаемого показательного уравнения, или их несложно получить, то полезно прикинуть возможность использования метода оценки. Например, для показательных уравнений , несложно получить оценки значений выражений, отвечающих их частям, и на основании этих оценок сделать вывод об отсутствии решений. Рекомендуем дополнительный материал: «Решение показательных уравнений методом оценки».
• Также не стоит забывать про нахождение области допустимых значений переменной для заданного показательного уравнения. Бывает, что с ее помощью удается решить уравнение. Смотрите «Решение показательных уравнений через ОДЗ».

Наконец, если ни один из упомянутых выше методов не позволяет решить заданное показательное уравнение, то почти наверняка придется искать какой-либо специфический метод решения.