Решение показательных уравнений через преобразования

Преобразование, заключающееся в замене числа степенью, в основном используется для приведения показательного уравнения a^f(x)=b, a>0, a≠1, b>0 к виду a^f(x)=a^c, c – некоторое число, с целью дальнейшего его решения, например, методом уравнивания показателей. Приведем пример. Показательное уравнение 2^x=8 путем замены числа 8 степенью 2³ преобразовывается в уравнение 2^x=2³, что дает возможность уравнять показатели и получить решение x=3.

Здесь стоит особо подчеркнуть два частных случая:

• Число 1 всегда можно заменить нулевой степенью любого положительного числа, ведь a⁰=1 для любого a>0. Например, это преобразование позволяет осуществить переход от показательного уравнения 5^x−3=1 к уравнению 5^x−3=5⁰, что в дальнейшем позволяет уравнять показатели и получить решение.
• Любое положительное число a можно рассматривать как первую степень числа a, так как a=a¹. Например, показательное уравнение 2^x2−2·x=2 можно рассматривать как уравнение 2^x2−2·x=2¹, что полезно в плане его решения методом уравнивания показателей.

К началу страницы

Очень характерными для показательных уравнений являются преобразования, базирующиеся на свойствах степеней. Давайте рассмотрим их.

Преобразование на базе свойств умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями

Этим свойствам соответствуют равенства a^p·a^q=a^p+q и a^p:a^q=a^p−q, a, p и q – действительные числа, причем a>0. Первое равенство позволяет заменять произведения степеней с одинаковыми основаниями одной единственной степенью с суммой в показателе и обратно. На базе второго равенства можно частные степеней заменять одной степенью с разностью в показателе и наоборот. Рассмотрим это на примерах преобразования показательных уравнений.

Для примера возьмем показательное уравнение 2^x+1·2^x·2^x−5=2². В его левой части, очевидно, находится произведение степеней с одинаковыми основаниями, которое в силу свойства умножения степеней с одинаковыми основаниями можно заменить степенью 2^x+1+x+x−5. То есть, мы можем преобразовать показательное уравнение 2^x+1·2^x·2^x−5=2² к виду 2^x+1+x+x−5=2², который удобен для дальнейшего решения.

Теперь рассмотрим уравнение . Можно выполнить преобразование этого показательного уравнения, основываясь на свойстве деления степеней с одинаковыми основаниями. Указанное свойство позволяет заменить частное в левой части уравнения степенью 5^{2·x−1−(x−3)}. В результате проведения такого преобразования получается уравнение 5^{2·x−1−(x−3)}=5, которое легко решается через уравнивание показателей.

Наконец, возьмем показательное уравнение 2^x+1+5·2^x−2=13. Для его преобразования равенства a^p·a^q=a^p+q и a^p:a^q=a^p−q используются справа налево: . Дальше полученное уравнение легко преобразовывается в уравнение 2^x=2², решение которого тривиально.

Преобразования на базе свойств степени произведения и частного

Указанным свойствам отвечают равенства (a·b)^p=a^p·b^p и (a:b)^p=a^p:b^p, где a, p и q – действительные числа, причем a>0, b>0. Первое свойство позволяет заменять степень произведения произведением степеней и обратно, второе – степень частного частным степеней и обратно. Покажем, как преобразования, базирующиеся на этих свойствах степеней, используются при решении показательных уравнений.

Рассмотрим показательное уравнение 5·2^x−(2·5)^x=0. В данном случае мы имеем право провести преобразование, заключающееся в замене степени произведения (2·5)^x произведением степеней 2^x·5^x. Выполнив его, мы придем к уравнению 5·2^x−2^x·5^x=0, которое после вынесения за скобки общего множителя 2^x может быть решено методом разложения на множители.

Вот пример использования свойства степени произведения в обратную сторону: 2^x·3^x=6⁻², (2·3)^x=6⁻² и дальше 6^x=6⁻², x=−2.

Аналогично проводится решение показательных уравнений через преобразования, базирующиеся на свойстве степени частного. Например, это преобразование позволяет перейти от показательного уравнения к уравнению , после чего вынести общий множитель 2^x за скобки и решить уравнение методом разложения на множители. А показательное уравнение следует преобразовать к виду и дальше 6^x=6⁻², x=−2.

Преобразование на базе свойства степени в степени

Свойству степени в степени отвечает равенство (a^p)^q=a^p·q, где a, p и q – действительные числа, причем a>0. Покажем, как это свойство используется для преобразования показательных уравнений.

Обратимся к уравнению . В силу свойства степени в степени данное показательное уравнение можно преобразовать к виду 2^{2·3·(x−2)}=2^{(−1)·(1−x)}, что позволяет провести дальнейшее решение через уравнивание показателей.

Равенство (a^p)^q=a^p·q для преобразования показательных уравнений может применяться и справа налево. Например, преобразование показательного уравнения 3^2·x−4·3^x+3=0 к виду (3^x)²−4·3^x+3=0 позволяет вести дальнейшее решение методом введения новой переменной.

К началу страницы

Из определения степени с отрицательным показателем следует, что , a>0. Этот результат при необходимости используется для преобразования показательных уравнений. Рассмотрим пример.

Возьмем показательное уравнение . Видно, что в его записи содержатся две степени, основания этих степеней одинаковые, а показатели отличаются знаком. В этой ситуации опора на определение степени с отрицательным показателем позволяет заменить выражение степенью 2^x2−4·x. Такое преобразование приводит исходное показательное уравнение к более простому в плане решения уравнению , в котором степени уже одинаковые. Дальнейшее решение не вызывает вопросов: , , , x²−4·x=5, x²−4·x−5=0, последнее квадратное уравнение имеет два корня −1 и 5. Они составляют решение исходного показательного уравнения.

К началу страницы

Определение степени с дробным показателем дает нам соотношение , a≥0 (в частности, ), связывающее корень со степенью. Оно дает возможность преобразовывать показательные уравнения, осуществляя замену корней степенями. Это касается как числовых выражений с корнями, так и выражений с переменными. Покажем это на примерах.

Решение показательного уравнения требует преобразования числового выражения с корнем в степень . В результате проведения такого преобразования получается показательное уравнение , решение которого находится, например, через уравнивание показателей.

Аналогично проводится преобразование показательных уравнений, в которых под знаками радикалов находятся выражения с переменными. Так с опорой на равенство мы можем преобразовать показательное уравнение к виду . Ну а дальше напрашивается преобразование по свойству степени в степени, которое мы разбирали чуть выше.

К началу страницы

Решение уравнений в некоторых случаях проводится с использованием преобразования, заключающегося в делении обеих частей уравнения на одно и то же выражение. Деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение используется и при решении показательных уравнений. В частности, ряд показательных уравнений решается через деление обеих частей уравнения на одну и ту же степень или произведение степеней. Известно, что деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение является равносильным, если выражение, на которое производится деление, не обращается в нуль. Так как степень a^f(x) не обращается в нуль ни при каких значениях переменной, то деление обеих частей уравнения на одну и ту же степень или на произведение степеней является равносильным преобразованием уравнения. Рассмотрим примеры проведения указанного преобразования при решении показательных уравнений.

В основном через деление обеих частей уравнения на одну и ту же степень решаются показательные уравнения, однородные относительно каких-либо степеней (см. однородные уравнения). Например, - однородное показательное уравнение первой степени относительно степеней 3^x и 5^x. Его решение требует деления на любую из этих степеней. Так деление на 5^x дает равносильное показательное уравнение , решение которого легко находится через ряд следующих преобразований:

Показательное уравнение является однородным уравнением второй степени относительно степеней и . Его решение можно провести через деление обеих частей уравнения на степень или . Покажем его полное решение.

Деление обеих частей уравнения на одну и ту же степень позволяет решать не только однородные показательные уравнения. Например, через деление на степень 13^3·x+1 можно решить показательное уравнение 13^5·x−1·17^2·x−2=13^3·x+1.

А вот пример решения показательного уравнения через деление его обеих частей на произведение трех степеней, находящееся в правой части:

К началу страницы

Довольно характерным преобразованием показательных уравнений является преобразование, состоящее в разложении чисел на простые множители. После него, как правило, следует преобразование, базирующееся на свойстве степени произведения. Проиллюстрируем сказанное примерами.

Допустим, нам потребовалось решить показательное уравнение 5·2^x−10^x=0. Решение можно начинать с разложения составного числа 10 на простые множители 2 и 5, то есть, переходить к уравнению 5·2^x−(2·5)^x=0

Вот другое характерное показательное уравнение , решение которого связано с проведение преобразования, заключающегося в разложении числа на простые множители. Разложим число 504 на простые множители:

Значит, 504=2³·3²·7. Полученное разложение позволяет от исходного показательного уравнения перейти к уравнению , и дальше по свойству степени произведения - к уравнению , что то же самое . Полученное уравнение решается через деление его обеих частей на выражение, находящееся в правой части. Это уравнение мы решили в конце предыдущего пункта.

К началу страницы

Стоит отдельно выделить группу показательных уравнений, в которых основаниями степеней с одинаковыми показателями являются сопряженные выражения. Вот пример показательного уравнения , которое является типичным представителем этой группы. Для решения подобных уравнений обычно находятся произведения степеней с сопряженными выражениями в основаниях, и полученные соотношения используются для преобразования уравнений. Например, в нашем случае

То есть, . Полученное равенство позволяет преобразовать исходное уравнение к виду . После этого остается провести деление обеих частей уравнения на степень (это преобразование мы разбирали выше), что дает очень простое равносильное уравнение 27=3^x−2.

Аналогично решается показательное уравнение . Оно в силу равенства может быть преобразовано к виду , и решено методом введения новой переменной. Вот его подробное решение.

К началу страницы

Выделение целой части из рациональной дроби сложно назвать часто используемым преобразованием по отношению к показательным уравнениям и уж тем более типичным и характерным. Но оно бывает полезно при решении показательных уравнений. Так что воспользуемся случаем лишний раз напомнить про него.

Например, выделение целых частей из рациональных дробей в показательном уравнении позволяет ввести новую переменную. Действительно, и , что позволяет преобразовать исходное показательное уравнение в уравнение , и дальше по свойствам степеней . Остается принять или и довести решение до конца.

К началу страницы