Решите показательное уравнение .

Нам нужно решить показательное уравнение. Каким методом проводить решение? Беглая прикидка показывает, что из всех методов решения показательных уравнений стоит пробовать метод оценки или искать какой-либо специфический метод решения. Итак, попытаемся провести решение уравнения методом оценки.

Оценим значения выражений и , отвечающих левой и правой частям решаемого показательного уравнения соответственно.

Сначала получим оценку значений первого выражения . Сделаем это так: оценим значения каждого из двух слагаемых, что позволит оценить и сумму.

Так как четная степень любого числа есть неотрицательное число, то (x−1)⁴≥0. Из записанного неравенства и свойств верных числовых неравенств следует, что (x−1)⁴+1≥1 и дальше . А из полученного неравенства и того, что из двух степеней положительного числа, превосходящего единицу, больше та, показатель которой больше (см. свойства степеней), следует, что и дальше .

Для оценки значений выражения нам потребуется оценка значений выражения 2·x−x². Ее можно получить через координаты вершины параболы. Вычисляем координаты вершины: . Так как коэффициент при x² отрицательный, то 2·x−x²≤1. Следовательно, , что то же самое .

Из полученных оценок и следует, что и дальше . Так мы получили оценку значений левой части решаемого уравнения.

Оценку значений выражения , отвечающего правой части решаемого показательного уравнения, получить чуть проще:

Таким образом, и . Эти результаты позволяют по методу оценки перейти от показательного уравнения к системе , решение которой дает решение исходного уравнения.

Решение системы уравнений целесообразно начинать с решения сравнительно простого второго уравнения . Это уравнение равносильно показательному уравнению , которое по методу уравнивания показателей сводится к иррациональному уравнению , решение которого легко находится:

Проверка подстановкой показывает, что найденный корень второго уравнения системы является и корнем ее первого уравнения :
.

Значит, система имеет единственное решение 1. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень 1.

Так мы провели решение показательного уравнения методом оценки и выяснили, что уравнение имеет единственный корень 1.

1.