Решите уравнение .

В записи заданного показательного уравнения переменная находится только в составе одинаковых степеней 2^x. Это указывает на то, что решение показательного уравнения стоит проводить методом введения новой переменной.

Введение новой переменной 2^x=t дает дробно-рациональное уравнение . Решаем его:

Таким образом, уравнение с новой переменной t имеет два корня t₁=2 и t₂=8.

Теперь возвращается к старой переменной. Мы принимали 2^x=t и нашли t₁=2 и t₂=8. Это дает нам совокупность двух уравнений 2^x=2 и 2^x=8. Уравнения 2^x=2 и 2^x=8 – это простейшие показательные уравнения. Корень первого уравнения 2^x=2 очевиден, им является число 1. Увидеть корень второго уравнения 2^x=8 позволяет представление уравнения в виде 2^x=2³. Отсюда находим x=3. Следовательно, совокупность уравнений 2^x=2 и 2^x=8 имеет два решения: 1 и 3.

На этом решение показательного уравнения методом введения новой переменной можно считать завершенным. Уравнение имеет два корня 1 и 3.

1, 3.