Решите показательное уравнение .

В первую очередь нам необходимо определиться с методом решения показательного уравнения. Отчетливо видно, что в записи нашего уравнения фигурируют две степени, причем показатели этих степеней одинаковые, а основания положительные и представляют собой сопряженные выражения и . Давайте посмотрим, чему равно произведение этих выражений: . Оно равно единице. Полученный только-что результат и свойства степеней позволяют аналогичным образом увязать между собой степени из исходного уравнения: . Это соотношение позволяет выражать одну через другую степени и как и . А это позволяет рассматривать исходное уравнение как уравнение или , и ввести новую переменную как или соответственно. Итак, будем решать показательное уравнение методом введения новой переменной.

Пусть . Тогда из соотношения следует, что . Это позволяет от исходного показательного уравнения перейти к уравнению с новой переменной t. Это дробно-рациональное уравнение, решим его:

Уравнение с новой переменной решено. Можно возвращаться к старой переменной.

Мы принимали и нашли и . Это дает нам совокупность двух уравнений и . Оба уравнения совокупности являются простейшими показательными уравнениями. Для решения первого из этих уравнений вновь обратимся к соотношению . Оно позволяет представить уравнение в виде что то же самое . Отсюда виден единственный корень −1. Решением уравнения , очевидно, является число 1. Таким образом, совокупность имеет два решения: −1, 1.

На этом решение показательного уравнения методом введения новой переменной завершено. Уравнение имеет два корня −1 и 1.

−1, 1.