Решите уравнение

Нам нужно решить показательное уравнение. Определиться с методом решения показательного уравнения в нашем случае довольно просто: мы видим в левой части уравнения произведение трех выражений, а в правой – нуль, это подталкивает к решению уравнения методом разложения на множители.

Согласно методу разложения на множители показательное уравнение на области допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения, которая определяется условиями x+3≠0 и 2−x≥0, равносильно совокупности трех уравнений , и . Решим эти уравнения по очереди.

Уравнение легко преобразуется в простейшее показательное уравнение 2^x=2⁻³, единственный корень которого очевиден: −3.

Показательное уравнение после представления в виде можно решить, например, методом уравнивания показателей:

Для решения показательного уравнения подходит метод введения новой переменной:

Итак, заменив показательное уравнение совокупностью трех уравнений , и , мы нашли четыре корня: −3, 6, 2 и −2. Остается выяснить, какие из этих корней принадлежат ОДЗ для исходного уравнения, которая, как мы записали выше, определяется условиями x+3≠0 и 2−x≥0. Для удобства запишем ОДЗ в виде числового множества: (−∞, −3)∪(−3, 2]. Очевидно, этому множеству из четырех чисел −3, 6, 2 и −2 принадлежат только два −2 и 2. Они и являются корнями исходного уравнения.

Так мы решили показательное уравнение методом разложения на множители.

−2, 2.