Решите уравнения:

а) 5^x=7

б)

а) Очевидно, 5^x=7 – показательное уравнение, причем это простейшее показательное уравнение. Мы знаем, что решение подобных уравнений стоит начинать с анализа числа в правой части. В нашем случае оно положительное, из этого следует, что уравнение имеет единственный корень. После этого, можно переходить к нахождению этого корня. Для его нахождения следует представить число в правой части в виде степени с основанием, равным основанию степени в левой части уравнения. Число 7 представляется в виде степени числа 5 только через логарифм: 7=5^log₅7. Это представление позволяет нам перейти от исходного уравнения 5^x=7 к равносильному уравнению 5^x=5^log₅7. Отсюда виден искомый корень: x=log₅7.

Для решения уравнения 5^x=7 подходит и метод логарифмирования:

б) - это тоже простейшее показательное уравнение. Несложно показать, что числовое выражение в его правой части соответствует положительному числу (при необходимости см. сравнение чисел):

Из этого следует, что уравнение имеет единственное решение. Чтобы найти это решение, представим выражение в правой части уравнения в виде степени с основанием 1/3. Для этого обратимся к логарифму: . Отсюда заключаем, что . Остается немного упростить полученное выражение посредством преобразования логарифмического выражения:

Итак, - единственный корень уравнения .

К такому же результату нас бы привел и метод логарифмирования.

а) 2·log₅7

б)