Решение показательных уравнений через возрастание-убывание
Иногда решение показательных уравнений приходится проводить функционально-графическим методом. Одним из направлений этого метода является использование возрастания и убывания функций, отвечающих частям решаемого уравнения. В этой статье мы будем разбираться с решением показательных уравнений через возрастание-убывание. Здесь мы рассмотрим соответствующую теорию и приведем пример решения показательного уравнения через возрастание-убывание.
Теория
Через возрастание-убывание решаются, в основном, показательные уравнения, удовлетворяющие следующим условиям:
- для их решения не подходят другие более простые и привычные методы решения показательных уравнений,
- область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения представляет собой некоторый числовой промежуток,
- функции, отвечающие частям уравнения, непрерывны на ОДЗ, при этом очевидно убывание одной из них и возрастание другой, либо есть возможность это доказать,
- очевиден корень уравнения, или он каким-либо способом может быть получен, часто подбором.
Например, таким показательным уравнением является 
.
Выполнение всех перечисленных выше условий гарантируют, что уравнение имеет единственный корень.
Из сказанного вырисовывается метод решения уравнений через возрастание-убывание. Для того, чтобы решить уравнение через возрастание-убывание, в том числе и показательное, надо
- Убедиться, что ОДЗ для него есть некоторый числовой промежуток.
- Доказать, что функции, отвечающие частям уравнения, непрерывные, и одна из них убывает, а другая – возрастает.
- Определить каким-либо способом корень уравнения. Этот корень является единственным.
Вновь обратимся к показательному уравнению . Его ОДЗ есть числовой промежуток x≥−1. Функции 
и y=2−x+5, отвечающие частям этого уравнения, являются непрерывными на ОДЗ. Возрастание первой из них и убывание второй можно обосновать при помощи свойств возрастающих и убывающих функций. Несложно подобрать корень уравнения, им является число 0. Из всего сказанного следует, что показательное уравнение имеет единственный корень 0.
Метод решения уравнений через возрастание убывание распространяется и на уравнения f(x)=C, где f – непрерывная и монотонная (возрастающая или убывающая) функция на ОДЗ для исходного уравнения, C – некоторое число. В качестве примера такого показательного уравнения приведем уравнение 
. Более того, при помощи этого метода, но с некоторыми корректировками, можно решать уравнения, ОДЗ для которых представляет собой не один числовой промежуток, а объединение нескольких числовых промежутков. Об этом подробно сказано в общей статье решение уравнений через возрастание-убывание. Там же приведено обоснование метода, даны рекомендации по доказательству возрастания-убывания, а также рекомендации по подбору корня уравнения.
Пример решения показательного уравнения
Давайте рассмотрим пример решения через возрастание-убывание типичного показательного уравнения 
. Оно типично в том плане, что удовлетворяет всем без исключения условиям, при которых уравнение решают именно посредством использования возрастания и убывания функций, отвечающих его частям. Действительно. Во-первых, не видно альтернативных методов его решения. Во-вторых, ОДЗ для него есть один числовой промежуток – множество всех действительных чисел. В-третьих, несложно обосновать убывание функции, отвечающей левой части уравнения, а функция, отвечающая правой части, очевидно, возрастающая. Наконец, возможно подобрать корень этого показательного уравнения – им является число 1. А теперь давайте запишем решение подробно со всеми необходимыми разъяснениями.