Решите уравнение .

Нам нужно решить показательное уравнение. Какой из методов решения показательных уравнений подходит в нашем случае? Давайте прикинем. Переменная в заданном уравнении находится только в составе степеней и , основания которых одинаковые, а показатели отличаются лишь знаком. Можно заметить, что эти степени связаны соотношением , которое следует из свойства умножения степеней с одинаковыми основаниями (см. свойства степеней). Полученное соотношение позволяет выражать одну степень через другую. А это в свою очередь позволяет ввести новую переменную. Таким образом, стоит пробовать решить заданное показательное уравнение методом введения новой переменной.

Пусть . Тогда , что следует из соотношения . Подставив эти результаты в исходное уравнение, получим уравнение с новой переменной t. Это дробное рациональное уравнение, решим его:

Уравнение с новой переменной решили. Теперь возвращаемся к старой переменной.

Мы принимали и нашли и . Эти данные приводят нас к совокупности двух уравнений и . Первое показательное уравнение не имеет корней: степень в его левой части принимает только положительные значения, поэтому равенство не может быть достигнуто ни при каком значении переменной (подробнее смотрите решение показательных уравнений методом оценки). Второе показательное уравнение после его приведения к виду элементарно решается, например, методом уравнивания показателей:

Так мы получили решение показательного уравнения методом введения новой переменной. Уравнение имеет единственный корень 4.

4.