Решите уравнение

Видно, что переменная находится в показателях степеней, значит, нам дано для решения показательное уравнение. Какой из методов решения показательных уравнений приведет нас к результату? Беглая прикидка заставляет отказаться практически от всех привычных методов. Давайте смотреть детальнее. В глаза бросаются две пары одинаковых выражений 49^x+7 и 8·7^x. Более того, левая и правая части уравнения одинаковые относительно только что указанных выражений. Таким образом, заданное уравнение представляет собой уравнение h(f(x))=h(g(x)), где f(x)=49^x+7, g(x)=8·7^x, а функция h такая, что h(t)=2^t3+5·3^2·t+1. А мы знаем, что уравнения h(f(x))=h(g(x)) можно решать методом освобождения от внешней функции при условии, что функция h принимает каждое свое значение один раз. Давайте проверим, удовлетворяет ли в нашем случае функция h указанному условию.

Опираясь на свойства возрастающих и убывающих функций, несложно показать, что функция h непрерывная и возрастающая на всей области определения, которая здесь является множеством всех действительных чисел R. Сделаем это. Функцию h можно рассматривать как сумму двух функций f₁ и f₂ таких, что f₁(t)=2^t3, f₂(t)=5·3^2·t+1. Функция f₁ непрерывная на R и возрастающая как возрастающая показательная (y=2^x) от возрастающей степенной (y=x³). Функция f₂ непрерывная на R и возрастающая как возрастающая показательная (y=3^x) от возрастающей линейной (y=2·x+1) с положительным числовым коэффициентом 5. Следовательно, функция h непрерывная на R и возрастающая как сумма двух возрастающих функций. А это означает, что функция h принимает каждое свое значение только один раз.

Таким образом, в показательном уравнении мы можем освободиться от внешней функции h, такой что h(t)=2^t3+5·3^2·t+1, и перейти к сравнительно простому уравнению 49^x+7=8·7^x. Полученное уравнение является показательным. Оно путем проведения равносильных преобразований уравнения приводится к уравнению (7^x)²−8·7^x+7=0, которое может быть решено методом введения новой переменной:

Так мы получили интересующее нас решение. Уравнение имеет два корня 0 и 1.

0, 1.