Решение показательных уравнений методом введения новой переменной

На текущем сайте www.cleverstudents.ru есть отдельная статья, посвященная методу введения новой переменной. Там детально изложена теория метода со всеми необходимыми обоснованиями и доказательствами. Там же дан алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной. Здесь мы не будем дублировать эту информацию, а напомним лишь самые основные положения.

Метод введения переменной – общий, в том смысле, что с его помощью можно решать уравнения любых видов, в частности, показательные.

Метод введения переменной используется для решения уравнений, в которых переменная содержится только в составе нескольких одинаковых выражений, или уравнений, которые могут быть приведены к такому виду. То есть, с помощью метода введения новой переменной проводится решение уравнений f(g(x))=0 и f₁(g(x))=f₂(g(x)). Для наглядности приведем примеры показательных уравнений, для решения которых подходит метод введения новой переменной: , и др.

Решение показательных уравнений методом введения новой переменной проводится в следующей последовательности. Вводится новая переменная. Решается уравнение с новой переменной. Если оно не имеет решений, то делается вывод об отсутствии корней у исходного уравнения. Если же уравнение с новой переменной имеет решения, то осуществляется возврат к старой переменной, и находится решение исходного уравнения.

К началу страницы

На практике встречается довольно много разнообразных показательных уравнений, которые решаются методом введения новой переменной. Сейчас мы разобьем их на несколько групп, возьмем из каждой группы по одному типичному представителю, и покажем их решение. Такой подход позволит справиться с решением почти любого заданного показательного уравнения методом введения переменной. Для его решения нужно будет определить, к какой группе относится заданное уравнение, и провести его решение по аналогии с решением типичного примера.

В первую группу определим показательные уравнения, в которых явно видны одинаковые выражения с переменной. Такими, например, являются уравнения и . Покажем решение первого из них.

Во вторую группу поместим показательные уравнения, в которых фигурируют степени с одинаковыми основаниями и противоположными показателями. В качестве примера приведем уравнения и . Сюда же давайте отнесем и уравнения, в которых присутствуют степени с одинаковыми показателями и взаимно обратными основаниями. Таким, например, являются показательные уравнения и . При решении подобных показательных уравнений методом введения новой переменной в качестве новой переменной t берется одна из степеней, другая степень выражается через переменную t как 1/t. Давайте покажем решение одного из записанных уравнений.

Здесь же хочется отдельно выделить уравнения, в которых взаимно обратные числа в основаниях степеней завуалированы сопряженными выражениями. Например, в показательном уравнении основания степеней и являются взаимно обратными числами, ведь . Это позволяет провести решение показательного уравнения методом введения новой переменной.

Методом введения новой переменной проводится решение показательных уравнений, в записи которых находятся степени с одинаковыми основаниями и кратными показателями. Приведем несколько примеров таких уравнений: 5^2·x+9·5^x−10=0, 2^x−8−2^−x+8·2^−2·x=0, . Введением новой переменной решение подобных показательных уравнений можно свести к решению рациональных уравнений.

К предыдущей группе стоит отнести еще показательные уравнения, степени в которых имеют одинаковые показатели, но разные основания, представляющие собой разные целые степени одного из оснований. Характерными представителями таких уравнений являются, например, 25^x+9·5^x−10=0 и . Покажем, как выглядит решение первого из этих показательных уравнений методом введения новой переменной.

Нередко встречаются показательные уравнения, которые являются однородными уравнениями относительно некоторых степеней. Вот характерные примеры однородных показательных уравнений: (10^x)²+9·10^x·2^x−10·(2^x)²=0, и т.п. Такие уравнения, как правило, решаются методом введения новой переменной после предварительного деления обеих частей уравнения на одну и ту же «старшую» степень.

Вообще, введению новой переменной часто предшествует ряд преобразований уравнения. Это, в частности, видно на предыдущем примере. Преобразования, характерные для показательных уравнений, детально разобраны в материале решение показательных уравнений через преобразования.