Решение показательных уравнений методом оценки

Решение показательных уравнений методом оценки обычно проводится при выполнении следующих двух условий:

• Не видно других более простых методов решения.
• Есть возможность оценить значения выражений (функций), отвечающих частям решаемого уравнения, и использовать полученные оценки для дальнейшего решения. Какими должны быть оценки, скажем чуть ниже.

Метод оценки состоит в получении оценок значений выражений, отвечающих частям решаемого уравнения, и использовании этих оценок для обоснования отсутствия решений уравнения или для перехода от исходного уравнения к одной или нескольким системам более простых уравнений. Так

• Если оценки представляют собой непересекающиеся числовые множества (не имеют одинаковых элементов), то на их основе можно сделать вывод, что уравнение не имеет решений. Например, для частей показательного уравнения 3^x2+1=1−2^x можно получить оценки 3^x2+1≥3 и 1−2^x<1 (им отвечают непересекающиеся числовые множества [3, +∞) и (−∞, 1)), и на их основе утверждать, что показательное уравнение 3^x2+1=1−2^x не имеет решений.
• Если оценки имеют конечное число одинаковых элементов, то это позволяет перейти от исходного уравнения к одной или нескольким системам более простых уравнений. Для примера возьмем показательное уравнение . Для его частей имеют место оценки 3^x2+1≥3 и (соответствующие числовые множества [3, +∞) и (−∞, 3] имеют один общий элемент 3). Это позволяет перейти от исходного показательного уравнения к системе уравнений .
• В остальных случаях оценки, обычно, не позволяют продвинуться в решении уравнения.

За более полной теорией обращайтесь к общей статье метод оценки для решения уравнений.

К началу страницы

Метод оценки является основным методом решения показательных уравнений a^f(x)=0 и a^f(x)=−С, где a – некоторое положительное число, −C – некоторое отрицательное число. Это связано с существованием очевидной оценки a^f(x)>0, на основании которой можно сразу сделать вывод, что показательные уравнения a^f(x)=0 и a^f(x)=−С, −C<0 не имеют решений. Например, не имеют решений показательные уравнения и . Объясняется это оценкой , из которой следует, что равенства и не достигаются ни при каких значениях переменной. Сказанное фактически является решением указанных показательных уравнений методом оценки.

Переходим к следующему примеру. Метод оценки позволяет решить показательное уравнение . Оно не имеет корней, так как и . Давайте приведем подробное решение этого показательного уравнения методом оценки.

Завершим серию примеров решением показательного уравнения . Метод оценки позволяет свести решение этого показательного уравнения к решению системы .