Решите уравнения:

а) 7^x=1

б)

в)

г)

а) Очевидно, 7^x=1 – это простейшее показательное уравнение, в его левой части находится степень положительного и отличного от единицы числа 7 с показателем x, а в правой – число 1.

Известно, что если правая часть простейшего показательного уравнения является положительным числом, то уравнение имеет единственный корень. В нашем случае справа находится число 1, оно положительное, следовательно, решаемое уравнение 7^x=1 имеет единственный корень. Давайте найдем его.

Чтобы найти корень простейшего показательного уравнения, надо число в правой части представить в виде степени с основанием, равным основанию степени в левой части уравнения. То есть, нам нужно число 1 представить в виде степени с основанием 7. Это довольно просто: 1=7⁰ (при необходимости в статье «степень числа» найдите часть, в которой дается определение степени с нулевым показателем). Представление 1=7⁰ позволяет от исходного уравнения 7^x=1 перейти к уравнению 7^x=7⁰. Замена числа 1 степенью 7⁰ является равносильным преобразованием уравнения, поэтому, исходное уравнение 7^x=1 и полученное 7^x=7⁰ - равносильные уравнения.

Итак, остается решить уравнение 7^x=7⁰, его решение будет решением исходного уравнения. Единственный корень уравнения 7^x=7⁰ очевиден: x=0. Для убедительности стоит сослаться на хорошо известное свойство степеней: две степени с одинаковыми положительными и отличными от единиц основаниями равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Если приведенные рассуждения и простые преобразования проводить в уме, то решение примет следующий краткий вид:
7^x=1,
7^x=7⁰,
x=0.

Покажем решение этого уравнения еще двумя способами.

Начинать решение уравнения 7^x=1 можно так же как в предыдущем случае: переходить к уравнению 7^x=7⁰. То есть, фактически действовать по методу решения уравнений через преобразования. А дальше привлекать метод освобождения от внешней функции и на его основе от уравнения 7^x=7⁰ переходить к равенству x=0. Краткое решение будет выглядеть также, просто за ним стоят другие рассуждения.

Для решения уравнения 7^x=1 подходит и метод логарифмирования:
7^x=1,
log₇7^x=log₇1
x=0.

б) Что за уравнение нам нужно решить? В левой части уравнения находится степень с положительным и отличным от единицы основанием и переменной x в показателе, в правой части – числовое выражение. Это указывает на то, что мы имеем дело с простейшим показательным уравнением.

Как известно, решение любого простейшего показательного уравнения следует начинать с выяснения, какое число находится в его правой части: отрицательное, нуль или положительное. В нашем случае, очевидно, что числовому выражению из правой части, то есть, выражению , отвечает положительное число. Из этого следует, что заданное уравнение имеет единственный корень. Переходим к его нахождению.

Известно, что для определения корня простейшего показательного уравнения нужно в первую очередь числовое выражение в правой части представить в виде степени с основанием, равным основанию степени из левой части уравнения. Значит, нам нужно выражение представить в виде степени с основанием, равным основанию степени 2^x, то есть, в виде степени числа 2. Справиться с этой задачей позволяют несложные преобразования (при необходимости смотрите преобразование выражений с корнями): . Это нам дает возможность перейти от исходного уравнения к равносильному уравнению . Остается сослаться на свойство степеней, утверждающее, что две степени с одинаковыми положительными и отличными от единицы основаниями равны тогда и только тогда, когда равны их показатели, и записать ответ: .

Запишем решение кратко:

Решение запишется абсолютно также, если заданное простейшее показательное уравнение начинать решать через преобразования, а продолжать по методу освобождения от внешней функции.

Уравнение можно решить и методом логарифмирования:

в) Уравнение решается аналогично. Выражение из правой части можно представить в виде степени с основанием 1/3 следующим образом:

Это позволяет от исходного уравнения перейти к уравнению , откуда очевиден корень , который является единственным.

Метод логарифмирования дает такой же результат при примерно таком же объеме работы.

г) Для решения простейшего показательного уравнения главное увидеть, что . Это действительно так:

Равенство нам нужно для того, чтобы представить выражение в правой части решаемого уравнения в виде степени с основанием, равным основанию степени в левой части уравнения:

Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению , откуда находим x=−2. Это единственный корень.

а) 0

б)

в)

г) −2