Решение показательных уравнений методом уравнивания показателей

Для решения каких показательных уравнений используется метод уравнивания показателей

Метод уравнивания показателей используется для решения не всех показательных уравнений, так как он предназначен для решения уравнений, имеющих вполне конкретную форму записи, а именно, a^f(x)=a^g(x), где a>0, a≠1, f(x) и g(x) некоторые выражения с переменной x. Таким образом, методом уравнивания показателей проводится решение только показательных уравнений, которые имеют указанный вид a^f(x)=a^g(x), a>0, a≠1. Такими, например, являются показательные уравнения 2^x=2¹², , .

Как проводится решение

Решение показательного уравнения a^f(x)=a^g(x), a>0, a≠1 методом уравнивания показателей состоит в переходе к равносильному уравнению f(x)=g(x). Решение этого уравнения дает решение исходного уравнения.

К началу страницы

Давайте рассмотрим как на практике проводится решение показательных уравнений методом уравнивания показателей. Обратимся к конкретным примерам.

Для следующего примера возьмем показательное уравнение . С его помощью мы хотим напомнить, что любое число можно рассматривать как степень с показателем 1.

Завершим серию примеров решением показательного уравнения . Оно примечательно тем, что к подобным уравнениям сводятся показательные уравнения с единицей в одной части, ведь единицу всегда можно представить в виде нулевой степени некоторого положительного числа. К этому мы еще вернемся, когда будем говорить про решение показательных уравнений через преобразования.

К началу страницы

Здесь хочется отдельно обратить внимание на важность соблюдения условий a>0, a≠1 при решении уравнения a^f(x)=a^g(x) методом уравнивания показателей.

Переход от уравнения a^f(x)=a^g(x) к уравнению f(x)=g(x) по методу уравнивания показателей нельзя проводить машинально. Почему, ведь он можно сказать напрашивается? Потому что метод уравнивания показателей требует выполнение условий a>0, a≠1. Если эти условия не выполняются, то есть, если a=1, a=0 или a<0, то замена уравнения a^f(x)=a^g(x) уравнением f(x)=g(x) может привести к получению неверного результата.

Пояснить сказанное нам помогут следующие четыре уравнения, которые отличаются друг от друга лишь числами в основаниях:

• 3^{x·(2·x−3)·(x+1)}=3^{−2·x·(x+1)}
• 1^{x·(2·x−3)·(x+1)}=1^{−2·x·(x+1)}
• 0^{x·(2·x−3)·(x+1)}=0^{−2·x·(x+1)} и
• (−3)^{x·(2·x−3)·(x+1)}=(−3)^{−2·x·(x+1)}.

Если бы для решения каждого из записанных уравнений подходил метод уравнивания показателей, то в каждом из случаев мы бы переходили к одному и тому же уравнению x·(2·x−3)·(x+1)=−2·x·(x+1), и находили бы одни и те же три корня −1, 0 и 1/2. Но эти три корня являются решением лишь первого уравнения. Второе уравнение имеет бесконечно много корней, его корнем является любое число. Третье уравнение тоже имеет бесконечно много корней, но его корнем является любое число из интервала (−1, 0). А последнее уравнение имеет два корня −1 и 0. Разберем это подробнее.

Первое уравнение 3^{x·(2·x−3)·(x+1)}=3^{−2·x·(x+1)} можно решать методом уравнивания показателей, так как основаниями степеней являются числа 3, которые, очевидно, больше нуля и не равны единице. То есть, решение уравнения 3^{x·(2·x−3)·(x+1)}=3^{−2·x·(x+1)} можно заменять решением уравнения x·(2·x−3)·(x+1)=−2·x·(x+1).

А можно ли применять метод уравнивания показателей для решения второго уравнения 1^{x·(2·x−3)·(x+1)}=1^{−2·x·(x+1)}? Нет, так как в этом случае в основаниях степеней стоят единицы, а метод уравнивания показателей требует, чтобы основания степеней были положительными и отличными от единиц числами. Уравнение 1^{x·(2·x−3)·(x+1)}=1^{−2·x·(x+1)} следует решать не методом уравнивания показателей, а как уравнение, сводящееся к верному числовому равенству 1=1.

Аналогично, решение уравнения 0^{x·(2·x−3)·(x+1)}=0^{−2·x·(x+1)} не следует проводить методом уравнивания показателей, так как в этом случае в основаниях степеней стоят нули. Решение уравнений 0^f(x)=0^g(x), каким как раз является наше уравнение, будем разбирать отдельно.

Метод уравнивания показателей не подходит и для решения уравнения (−3)^{x·(2·x−3)·(x+1)}=(−3)^{−2·x·(x+1)}, так как в основаниях его степеней находятся отрицательные числа – числа −3. Подобные уравнения также требуют отдельного разговора.

Итак, столкнувшись с уравнением a^f(x)=a^g(x), всегда нужно смотреть, каким числом является a: положительным и не равным единице, единицей, нулем или отрицательным числом. От этого зависит выбор метода решения.