Решите показательные уравнения:

а)

б)

в)

г)

а) По большому счету, это устное задание: уравнение имеет единственное решение . Но чтобы сразу давать ответ в подобных случаях, нужно очень хорошо понимать, какие рассуждения за этим стоят. Приведем их.

Уравнение представляет собой равенство двух степеней с одинаковыми основаниями, которыми служат положительные и отличные от единицы числа – в нашем случае это двойки. Подобные уравнения наиболее рационально решать с опорой на следующее свойство степеней: две степени с одинаковыми положительными и отличными от единицы основаниями равны тогда и только тогда, когда равны их показатели. Таким образом, равенство имеет место тогда и только тогда, когда . То есть, - это единственное решение уравнения .

По сути, это решение уравнения методом освобождения от внешней функции.

Неплохо иметь в виду и альтернативные способы решения. Вот первый из них. - это простейшее показательное уравнение. Степень , стоящая в правой части уравнения, есть положительное число как степень положительного числа. Известно, что в этом случае простейшее показательное уравнение имеет единственное решение. Оно очевидно: .

Это уравнение можно решить и методом логарифмирования:

б) Уравнение можно рассматривать как . А дальше, рассуждая как в предыдущем примере, приходим к выводу, что x=1 – единственный корень уравнения.

в) Аналогично, простейшее показательное уравнение имеет единственное решение .

г) Здесь уравнение тоже представляет собой равенство двух степеней с одинаковыми основаниями. Но в отличие от предыдущих примеров, здесь не очень очевидно, что основания являются положительными и отличными от единицы числами. Поэтому, в этом приходится дополнительно убедиться (при необходимости смотрите сравнение чисел):

Итак, основания степеней есть одинаковые положительные и отличные от единицы числа. Дальше повторяем рассуждения из пункта а), они нас приводят к выводу, что - единственный корень уравнения .

а)

б) 1

в)

г)