Решите уравнение .

Перед нами показательное уравнение. Степени в его записи имеют одинаковые положительные основания 3/7, а показатели степеней отличаются лишь числовыми коэффициентами. Такие степени при помощи свойства степени в степени (см. свойства степеней) можно выражать одну через другую. Например, в нашем случае имеют место равенства и . Это позволяет ввести новую переменную. То есть, заданное показательное уравнение можно решать методом введения новой переменной.

Какую из степеней и удобнее заменить новой переменной t? Если принять , то мы получим уравнение . Если принять , то это даст уравнение t²+2·t−3=0. Уравнение t²+2·t−3=0, очевидно, проще уравнения . Поэтому, примем , и перейдем к уравнению t²+2·t−3=0 с новой переменной t.

Решим полученное квадратное уравнение t²+2·t−3=0:

Уравнение с новой переменной имеет два корня: t₁=−3 и t₂=1. Теперь согласно методу введения новой переменной нужно возвратиться к старой переменной.

Новую переменную мы вводили как , при этом мы нашли два значения новой переменной t₁=−3 и t₂=1. Это позволяет нам записать совокупность двух уравнений и . Первое уравнение совокупности решений не имеет, так как степень в его левой части принимает только положительные значения, а число в правой части – отрицательное (подробнее см. решение показательных уравнений методом оценки). Второе уравнение равносильно уравнению , решение которого позволяет получить, например, метод уравнивания показателей:

Так мы провели решение показательного уравнения методом введения новой переменной. Это уравнение имеет единственный корень 3.

3.