Метод потенцирования – метод решения уравнений
Метод потенцирования [1, с. 125] – это один из методов решения уравнений. В этой статье мы всесторонне разберем этот метод. Сначала скажем, для решения каких уравнений он применяется. Дальше вникнем в суть метода потенцирования и дадим его обоснование. После этого запишем алгоритм решения уравнений методом потенцирования. Наконец, проанализируем решения нескольких характерных уравнений.
Когда применяется метод потенцирования
Метод потенцирования применяется для решения логарифмических уравнений, обе части которых представляют собой логарифмы по одинаковым основаниям. Например, применение метода потенцирования позволяет справиться с уравнениями log2(x−1)=log2(3·x−7), и т.п. К методу потенцирования можно прибегать и в случаях, когда в основаниях логарифмов находятся не числа, а одинаковые выражения с переменными. Например, логарифмическое уравнение logx+4(x2−1)=logx+4(5−x) вполне можно решать методом потенцирования.
Суть метода потенцирования
Суть метода потенцирования состоит в нахождении решения заданного уравнения посредством решения уравнения, полученного из исходного уравнения путем его почленного потенцирования, на области допустимых значений для исходного уравнения.
Не помешает пояснить, что такое почленное потенцирование. Напомним, что потенцирование заключается в восстановлении выражения по его логарифму. Поэтому, под почленным потенцированием уравнения logh(x)f(x)=logh(x)g(x) обычно понимают следующую последовательность преобразований уравнения:
которую обычно сокращают до , осуществляя первое преобразование в уме.
Проиллюстрируем суть метода потенцирования. Для этого обратимся к примеру: решение уравнения log2(x−1)=log2(3·x−7) методом потенцирования подразумевает переход к решению уравнения x−1=3·x−7 на ОДЗ для исходного логарифмического уравнения.
Обоснование метода
Метод потенцирования предполагает переход от уравнения logh(x)f(x)=logh(x)g(x) к сравнительно простому уравнению f(x)=g(x). Но почему мы можем осуществлять такой переход, и каким является полученное уравнение, равносильным уравнением или уравнением-следствием? Ответы на эти вопросы дает следующее утверждение:
Утверждение
Почленное потенцирование уравнения в общем случае дает уравнение-следствие.
Доказательство
В первую очередь докажем, что любой корень уравнения logh(x)f(x)=logh(x)g(x) является корнем уравнения f(x)=g(x).
Пусть x0 - корень уравнения logh(x)f(x)=logh(x)g(x). Значит logh(x0)f(x0)=logh(x0)g(x0) - верное числовое равенство. Также из того, что x0 – корень уравнения logh(x)f(x)=logh(x)g(x) следует, что x0 принадлежит ОДЗ для этого уравнения, откуда вытекает, что h(x0)>0 и h(x0)≠1. При этом известно, что две степени одного и того же положительного и отличного от единицы числа равны тогда и только тогда, когда равны показатели этих степеней (см. свойства степеней). Следовательно, (h(x0))logh(x0)f(x0)=(h(x0))logh(x0)g(x0) – верное числовое равенство. А основное логарифмическое тождество позволяет переписать его в виде f(x0)=g(x0). Полученное равенство означает, что x0 – корень уравнения f(x)=g(x).
Теперь докажем, что уравнение f(x)=g(x) может иметь корни, посторонние для уравнения logh(x)f(x)=logh(x)g(x). На этом доказательство будет закончено. Для этого достаточно одного примера. В качестве такого примера приведем уравнение –x2+5·x+3=x2, которое получается в результате почленного потенцирования уравнения logx−1(–x2+5·x+3)=logx−1x2. Число −1/2 является корнем уравнения –x2+5·x+3=x2, но −1/2 – посторонний корень уравнения logx−1(–x2+5·x+3)=logx−1x2.
Остается обговорить, из-за чего при потенцировании обеих частей уравнения могут появляться посторонние корни. При переходе от уравнения logh(x)f(x)=logh(x)g(x) к уравнению f(x)=g(x) пропадают ограничения на значения переменной, связанные с логарифмами. Из-за этого может расшириться ОДЗ. А из-за расширения ОДЗ могут появиться посторонние корни. Других причин появления посторонних корней при потенцировании уравнения нет. Из этого следует, что при решении уравнений методом потенцирования отсеивание посторонних корней можно проводить с опорой на ОДЗ.
Алгоритм решения уравнений методом потенцирования
Информация предыдущих пунктов позволяет записать алгоритм решения уравнений методом потенцирования.
Чтобы решить уравнение методом потенцирования, надо
- Выполнить почленное потенцирование уравнения, то есть, перейти от уравнения logh(x)f(x)=logh(x)g(x) к уравнению f(x)=g(x).
- Решить полученное уравнение.
- Если оно не имеет корней, то исходное уравнение тоже не имеет корней.
- Если оно имеет корни, то перейти к следующему шагу.
- Взять корни, принадлежащие условиям ОДЗ для исходного уравнения, или провести отсеивание посторонних корней любым другим способом.
Примеры с решениями
Решение уравнений методом потенцирования обычно проводится в три этапа: проводится потенцирование уравнения, решается полученное уравнение, берутся все корни, удовлетворяющие условиям ОДЗ для исходного уравнения, остальные корни отбрасываются как посторонние. Давайте разберем пример решения уравнения методом потенцирования.
Пример
Решите уравнение методом потенцирования
Решение
Левая и правая части заданного уравнения представляют собой логарифмы по одинаковым основаниям 10. Это позволяет нам использовать метод потенцирования для решения уравнения. Первое, что нам надо сделать по методу потенцирования, - это провести потенцирование уравнения:
Почленное потенцирование уравнения привело нас к рациональному уравнению . Теперь нам надо решить полученное уравнение:
Таким образом, уравнение имеет два корня x1=−1 и x2=3.
Остается пройти последний шаг алгоритма решения уравнений методом потенцирования – отсеять посторонние корни. В нашем случае это удобно сделать по условиям ОДЗ для исходного уравнения . Для этого уравнения ОДЗ определяется системой . Корень x1=−1 не удовлетворяет записанной системе (), значит, является посторонним корнем уравнения . А x2=3 удовлетворяет ей (), значит, является корнем решаемого уравнения .
На этом решение уравнения методом потенцирования завершено. Уравнение имеет один корень 3.
Ответ:
3
Для полноты картины стоит рассмотреть, как проводится потенцирование уравнений, когда в основаниях логарифмов находятся одинаковые выражения с переменными. Вот соответствующий пример с подробным решением.
Пример
Решите уравнение logx−1(–x2+5·x+3)=logx−1x2
Решение
Перед нами логарифмическое уравнение. Части этого уравнения представляют собой логарифмы, в основаниях этих логарифмов находятся одинаковые выражения с переменной. Для решения подобных логарифмических уравнений подходит метод потенцирования.
Решение уравнений методом потенцирования проводится следующим образом:
- во-первых, выполняется почленное потенцирование уравнения,
- во-вторых, решается полученное уравнение,
- и, в-третьих, отсеиваются корни, посторонние для исходного уравнения.
Начинаем с потенцирования уравнения:
Полученное в результате потенцирования уравнение сводится к квадратному уравнению 2·x2−5·x−3=0. Решаем его через дискриминант:
Остается пройти последний шаг метода потенцирования – отсеять посторонние корни. При решении уравнений методом потенцирования отсеивание посторонних корней обычно проводится по условиям ОДЗ. В нашем случае область допустимых значений для исходного уравнения logx−1(–x2+5·x+3)=logx−1x2 определяется следующими условиями: –x2+5·x+3>0, x2>0, x−1>0, x−1≠1 (выражения под знаками логарифмов должны быть положительными, а в основаниях логарифмов – положительными и отличными от единицы). Проверим, удовлетворяют ли найденные выше корни x1=−1/2, x2=3 записанным условиям. Очевидно, x1=−1/2 не удовлетворяет условию x−1>0, значит, x1=−1/2 – посторонний корень. А x2=3 удовлетворяет всем условиям ОДЗ (), следовательно, является корнем.
Таким образом, уравнение logx−1(–x2+5·x+3)=logx−1x2 имеет единственный корень 3.
Ответ:
3
В заключение этой статьи заметим, что почленное потенцирование уравнения logaf(x)=logag(x) с одинаковыми положительными и отличными от единицы числами в основаниях логарифмов (a>0 и a≠1), дает такой же результат, что и освобождение от внешней функции: и в том, и в другом случае уравнение logaf(x)=logag(x) заменяется уравнением f(x)=g(x).