Метод уравнивания показателей

Так называемый метод уравнивания показателей [1, с. 95]– это один из методов решения уравнений. Сейчас мы подробно и всесторонне разберем этот метод. Сначала скажем, для решения каких уравнений он применяется. Дальше озвучим суть метода уравнивания показателей и приведем обоснование метода. После этого запишем алгоритм решения уравнений методом уравнивания показателей. В заключение рассмотрим пример использования метода уравнивания показателей при решении конкретного уравнения.

Для решения каких уравнений применяется

Метод уравнивания показателей применяется для решения уравнений af(x)=ag(x), где a – положительное и отличное от единицы число (a>0, a≠1), f(x) и g(x) – выражения с переменной x. Например, его можно применять для решения уравнений 2x=2−7, , и др.

Метод уравнивания показателей можно считать главным методом решения показательных уравнений, имеющих вид af(x)=ag(x).

К началу страницы

Суть метода уравнивания показателей

Суть метода уравнивания показателей состоит в замене решения уравнения af(x)=ag(x), a>0, a≠1 решением уравнения f(x)=g(x).

Например, по методу уравнивания показателей решение уравнения 3x2+1=3−2·x+7 заменяется решением уравнения x2+1=−2·x+7.

Озвученная суть проясняет, откуда метод получил свое название. Уравнение af(x)=ag(x), a>0, a≠1 представляет собой равенство двух степеней af(x) и ag(x) с одинаковыми положительными и отличными от единицы основаниями a. Уравнение f(x)=g(x) есть равенство показателей степеней af(x) и ag(x). В этом свете переход от уравнения af(x)=ag(x), a>0, a≠1 к уравнению f(x)=g(x) можно рассматривать как уравнивание показателей степеней af(x) и ag(x), составляющих исходное уравнение.

Кстати, по своей сути метод уравнивания показателей совпадает с методом освобождения от внешней функции по отношению к уравнению af(x)=ag(x), a>0, a≠1.

К началу страницы

Обоснование метода

Приведем теоретическое обоснование метода уравнивания показателей. Метод базируется на следующей теореме:

Теорема

af(x)=ag(x), a>0, a≠1 и f(x)=g(x) – равносильные уравнения.

Доказательство

Теорема будет доказана, если показать, что любой корень уравнения af(x)=ag(x), a>0, a≠1 является корнем уравнения f(x)=g(x) и обратно. Проведем необходимые рассуждения.

Пусть x0 – корень уравнения af(x)=ag(x), a>0, a≠1. Тогда af(x0)=ag(x0) – верное числовое равенство. Это равенство представляет собой равенство двух степеней с одинаковыми положительными и отличными от единицы основаниями. Известно, что две степени с одинаковыми положительными и отличными от единицы основаниями равны тогда и только тогда, когда равны показатели этих степеней (см. свойства степеней). Значит, равенство af(x0)=ag(x0) возможно тогда и только тогда, когда f(x0)=g(x0). Отсюда следует, что x0 – корень уравнения f(x)=g(x).

Теперь обратно. Пусть x0 – корень уравнения f(x)=g(x). Значит, f(x0)=g(x0) – верное числовое равенство. Это равенство и упомянутое в предыдущем абзаце свойство степеней позволяют констатировать, что для любого положительного и отличного от единицы числа a справедливо равенство af(x0)=ag(x0). Следовательно, x0 – корень уравнения af(x)=ag(x).

К началу страницы

Алгоритм решения уравнений методом уравнивания показателей

Доказанная в предыдущем пункте теорема позволяет записать алгоритм решения уравнения af(x)=ag(x), a>0, a≠1 методом уравнивания показателей.

Чтобы решить уравнение af(x)=ag(x), a>0, a≠1 методом уравнивания показателей, надо

  1. Уравнять показатели степеней af(x) и ag(x), составляющих исходное уравнение. То есть, перейти от исходного уравнения af(x)=ag(x) к уравнению f(x)=g(x).
  2. Решить полученное уравнение f(x)=g(x). Его решение является решением исходного уравнения.

К началу страницы

Пример использования

Давайте посмотрим, как метод уравнивания показателей используется на практике при решении уравнений. Для примера решим уравнение .

Пример

Решите уравнение .

Решение

Очевидно, мы имеем дело с уравнением af(x)=ag(x), где , , g(x)=cosx. Несложно убедиться, что в нашем случае a>0 и a≠1, то есть, и (при необходимости смотрите сравнение чисел). Известно, что для решения уравнения af(x)=ag(x), a>0, a≠1, а наше уравнение именно таким и является, идеально подходит метод уравнивания показателей. Согласно этому методу решение уравнения af(x)=ag(x) нужно заменить решением уравнения f(x)=g(x). Так и поступаем: переходим от исходного уравнения к равносильному ему уравнению . Полученное уравнение можно решить методом оценки:

Таким образом, уравнение имеет единственный корень 0. Значит, исходное уравнение в силу равносильности уравнению , тоже имеет единственный корень 0.

Ответ:

0.

Недостаточно одного примера? Другие примеры использования метода уравнивания показателей представлены в статье «решение показательных уравнений методом уравнивания показателей».

К началу страницы