Простейшие показательные уравнения

Обычно

В точности так про простейшие показательные уравнения сказано в учебнике Колмогорова [1, с. 229].

Прежде чем привести примеры простейших показательных уравнений, отвечающих этому определению, считаем нужным сказать пару слов об условиях a>0 и a≠1.

Первое из них объясняется определением степени, ведь степень с действительным показателем мы определили лишь для положительных оснований. Это не означает, что не нужно изучать уравнения a^x=b при a<0 и a=0, ведь они не лишены смысла. Уравнения a^x=b при a<0 имеют смысл на множестве целых чисел, а уравнения a^x=b при a=0, то есть, уравнения 0^x=b, имеют смысл на множестве положительных действительных чисел. Решение уравнений a^x=b при a<0 имеет свою специфику, с которой лучше разбираться отдельно. Уравнения a^x=b при a=0 есть частный случай уравнений, сводящихся к числовым равенствам.

А зачем в определении простейших показательных уравнений второе условие a≠1? Это условие исключает из рассмотрения уравнения 1^x=b. Это тоже уравнения, сводящиеся к числовым равенствам.

Итак, дальше в этой статье мы считаем, что a>0, a≠1.

Теперь обещанные примеры. Начнем с уравнения 2^x=8. Это есть уравнение a^x=b при a=2, b=8, значит, это простейшее показательное уравнение. Аналогично, 3^x=7, , 2^x=0, 5^x=−25 – простейшие показательные уравнения.

Еще вспомним, что числа могут быть записаны не только в виде отдельных чисел, но и в виде числовых выражений. Этот факт и данное выше определение позволяют нам утверждать, что уравнения A^x=B, где A и В – числовые выражения, причем A>0, A≠1, это тоже простейшие показательные уравнения. Так 5^x=5³, , – это простейшие показательные уравнения.

Встречаются и немного отличающиеся взгляды на простейшие показательные уравнения. Вот тому пример

От первого определения оно отличается тем, что дано ограничение на число b – оно подразумевается положительным. В первом определении про число b ничего не сказано, поэтому, оно подразумевается любым (отрицательным, нулем, положительным). Если придерживаться второго определения, то два из приведенных выше уравнений, а именно, 2^x=0 и 5^x=−25, не будут простейшими.

Считать или не считать простейшими уравнения a^x=b при b=0 и b<0 – судить не нам. Главное – уметь их решать. Давайте научимся это делать.

К началу страницы

Судя по названию, простейшие показательные уравнения a^x=b, где a и b – числа, причем a>0, a≠1, должны решаться легко. Так оно и есть:

• Если b<0 или b=0, то уравнение a^x=b не имеет решений.
• Если b>0, то исходное уравнение a^x=b нужно преобразовать к виду a^x=a^c (кроме случаев, когда оно сразу имеет такой вид), откуда очевиден единственный корень x=c.

Например, простейшие показательные уравнения 3^x=−5 и (0,3)^x=0 не имеют решений, так как в правой части первого из них находится отрицательное число, а в правой части второго – нуль. А чтобы решить простейшее показательное уравнение 2^x=8, его нужно преобразовать к виду 2^x=2³, что позволяет увидеть его единственное решение x=3.

После знакомства с логарифмом появляется возможность обходиться без преобразования исходного простейшего показательного уравнения a^x=b при b>0 к виду a^x=a^c, а сразу записывать решение через логарифм как x=log_ab.

Почему решать простейшие показательные уравнения нужно именно так, обоснуем в следующем пункте. А сейчас запишем алгоритм решения простейших показательных уравнений:

Чтобы решить простейшее показательное уравнение a^x=b, где a и b – числа, причем a>0, a≠1, надо

1. Убедиться, что перед нами именно простейшее показательное уравнение. Для этого нужно проверить, что уравнение имеет вид a^x=b, и убедиться, что a>0 и a≠1.
2. Посмотреть, каким числом является b: отрицательным, нулем, или положительным.
• Если b<0 или b=0, то сделать вывод об отсутствии решений.
• Если b>0, то перейти к следующему шагу.
3. Если b представляет собой степень a^c, то перейти к следующему шагу. В противном случае представить число b в виде степени a^c, то есть, перейти от исходного уравнения a^x=b к уравнению a^x=a^c.
4. От равенства степеней a^x=a^c перейти к равенству их показателей, то есть, к равенству x=c. Это даст единственный корень исходного уравнения.

К началу страницы

Решение показательных уравнений a^x=b, где a>0, a≠1, b – некоторое число, базируется на следующих двух утверждениях:

• Если b=0 или b<0, то уравнение a^x=b не имеет решений.
• Если b>0, то уравнение a^x=b имеет единственное решение x=log_ab, где log_ab – логарифм числа b по основанию a. В частности, если число b представляет собой некоторую степень числа a, то есть, b=a^c, то единственное решение уравнения есть x=c.

Сразу заметим, что сейчас в школе показательные уравнения обычно изучают до знакомства с логарифмом. По этой причине сначала обходят обращение к логарифму. И делают это так: рассматривают только такие простейшие показательные уравнения, в которых число b представляет собой некоторую степень числа a. То есть, сначала рассматривают уравнения a^x=a^c, где c – некоторое число. Единственным решением уравнения a^x=a^c является x=c. А уже после знакомства с логарифмом возвращаются к показательным уравнениям, и уже тогда говорят про единственное решение простейшего показательного уравнения a^x=b в виде x=log_ab.

Сейчас мы приведем доказательство этих утверждений, чтобы стало понятно, откуда они произрастают. После этого рассмотрим решения нескольких простейших показательных уравнений, которые покрывают все случаи: и когда b<0, и когда b=0, и когда b можно представить в виде степени числа a без использования логарифма, и когда без логарифма не обойтись.

К началу страницы

Алгоритм с его теоретическим обоснованием представляет собой полноценный метод решения простейших показательных уравнений. Однако стоит иметь в виду, что простейшие показательные уравнения можно решать при помощи хорошо известных методов решения уравнений. А именно:

• Вывод о том, что простейшее показательное уравнение a^x=b при b<0 или b=0 не имеет решений, можно сделать на основании метода оценки.
• Преобразование простейшего показательного уравнения a^x=b при b>0 к виду a^x=a^c проводится в соответствии методом решения уравнений через преобразования, а следующий переход к равенству x=c делается в согласии с методом уравнивания показателей, который по сути является методом освобождения от внешней функции.
• Простейшее показательное уравнение a^x=b при b>0 можно решать и методом логарифмирования, подразумевающим переход от a^x=b к log_aa^x=log_ab. А следующий переход от уравнения log_aa^x=log_ab к x=log_ab, дающий нам конечный результат, проводится в согласии с методом решения уравнений через преобразования.

К началу страницы

В предыдущих пунктах мы разобрали теорию решения простейших показательных уравнений и записали алгоритм. Давайте перейдем к практике, и разберем решения нескольких характерных примеров.

Сначала покажем решения уравнений a^x=b, где a>0, a≠1, а число b в правой части - отрицательное. Выше мы показали, что такие уравнения не имеют решений.

Теперь покажем решения простейших показательных уравнения с нулями в правых частях. Такие уравнения тоже не имеют решений.

Теперь давайте рассмотрим примеры решения простейших показательных уравнений, отвечающих виду a^x=a^c. Их единственное решение очевидно: x=c.

В предыдущем примере мы имели дело с очень удобными для решения простейшими показательными уравнениями, имеющими вид a^x=a^c. Давайте рассмотрим решения чуть более сложных уравнений, которые изначально имеют вид, отличный от a^x=a^c, но могут быть приведены к нему посредством преобразования числовых выражений, находящихся в правых частях.

Но иногда число или числовое выражение в правой части уравнения невозможно представить в виде степени с нужным основанием без использования логарифма. Так что стоит остановиться на случаях, когда без логарифмов не обойтись.

На простейшие показательные уравнения внешне похожи уравнения a^f(x)=b, где f(x) – некоторое выражение с переменной x. Например, 2^x−1=2², . Про их решение мы поговорим чуть позже. До этого нужно разобрать алгоритм решения показательных уравнений.