Решите показательное уравнение .

Нам нужно решить показательное уравнение. В первую очередь необходимо выяснить, какой метод решения показательных уравнений подходит в данном случае. Беглый перебор всех возможных вариантов показывает, что стоит пробовать разве что функционально-графический метод, причем то его направление, которое базируется на использовании возрастания и убывания функций, отвечающих частям решаемого уравнения. Итак, будем пробовать провести решение уравнения через возрастание-убывание.

Для решения по выбранному методу нужно знать область допустимых значений (ОДЗ) переменной x для решаемого уравнения. Очевидно, что для показательного уравнения ОДЗ есть множество всех действительных чисел. Таким образом, ОДЗ представляет собой один единственный числовой промежуток (а не объединение нескольких промежутков).

Теперь изучим функции и y=2^x, отвечающие частям решаемого уравнения. Они непрерывны на ОДЗ. Функция y=2^x – это показательная функция. Мы знаем, что показательная функция с основанием, большим единицы, является возрастающей. А функция - убывающая. Для пояснения этого факта обратимся к свойствам возрастающих и убывающих функций:

Линейная функция y=1−x – убывает, степенная функция y=x³ – возрастает, следовательно, функция y=(1−x)³ – убывает, как возрастающая от убывающей. Показательная функция y=3^x – возрастает, и, как мы только что показали, функция y=(1−x)³ - убывает. Значит, функция убывает, как возрастающая от убывающей. Следовательно, функция - убывающая, как убывающая плюс постоянная.

Итак, функция , отвечающая левой части решаемого показательного уравнения, непрерывна на ОДЗ для этого уравнения и убывает, а функция y=2^x, отвечающая правой части уравнения, непрерывна и возрастает. Из этого следует, что если уравнение имеет корень, то он единственный. Попробуем подобрать его.

Целесообразно подбор корня показательного уравнения начать с чисел, при которых показатели степеней в записи уравнения будут целыми и небольшими по величине. Такими числами в первую очередь являются 0, 1, 2. Проверка подстановкой показывает, что 1 – корень уравнения: . Так подобран корень уравнения. А выше мы показали, что этот корень является единственным.

1.