Математика на cleverstudents.ru

Логарифмы, свойства логарифмов, их значения

Определение логарифма, основное логарифмическое тождество.

В центре внимания этой статьи – логарифм. Здесь мы дадим определение логарифма, покажем принятое обозначение, приведем примеры логарифмов, и скажем про натуральные и десятичные логарифмы. После этого рассмотрим основное логарифмическое тождество.

Определение логарифма

Понятие логарифма возникает при решении задачи в известном смысле обратной возведению в степень, когда нужно найти показатель степени по известному значению степени и известному основанию.

Но хватит предисловий, пришло время ответить на вопрос «что такое логарифм»? Дадим соответствующее определение.

На этом этапе заметим, что произнесенное слово «логарифм» должно сразу вызывать два вытекающих вопроса: «какого числа» и «по какому основанию». Иными словами, просто логарифма как бы нет, а есть только логарифм числа по некоторому основанию.

Сразу введем обозначение логарифма: логарифм числа b по основанию a принято обозначать как log_ab. Логарифм числа b по основанию e и логарифм по основанию 10 имеют свои специальные обозначения lnb и lgb соответственно, то есть, пишут не log_eb, а lnb, и не log₁₀b, а lgb.

Теперь можно привести примеры логарифмов: .
А записи не имеют смысла, так как в первой из них под знаком логарифма находится отрицательное число, во второй – отрицательное число в основании, а в третьей – и отрицательное число под знаком логарифма и единица в основании.

Теперь скажем о правилах чтения логарифмов. Запись log_ab читается как «логарифм b по основанию a». Например, log₂3 - это логарифм трех по основанию 2, а - это логарифм двух целых двух третьих по основанию квадратный корень из пяти. Логарифм по основанию e называют натуральным логарифмом, а запись lnb читается как «натуральный логарифм b». К примеру, ln7 – это натуральный логарифм семи, а мы прочитаем как натуральный логарифм пи. Логарифм по основанию 10 также имеет специальное название – десятичный логарифм, а запись lgb читается как «десятичный логарифм b». Например, lg1 - это десятичный логарифм единицы, а lg2,75 - десятичный логарифм двух целых семидесяти пяти сотых.

Стоит отдельно остановиться на условиях a>0, a≠1 и b>0, при которых дается определение логарифма. Поясним, откуда берутся эти ограничения. Сделать это нам поможет равенство вида , называемое основным логарифмическим тождеством, которое напрямую следует из данного выше определения логарифма.

Начнем с a≠1. Так как единица в любой степени равна единице, то равенство может быть справедливо лишь при b=1, но при этом log₁1 может быть любым действительным числом. Чтобы избежать этой многозначности и принимается a≠1.

Обоснуем целесообразность условия a>0. При a=0 по определению логарифма мы бы имели равенство , которое возможно лишь при b=0. Но тогда log₀0 может быть любым отличным от нуля действительным числом, так как нуль в любой отличной от нуля степени есть нуль. Избежать этой многозначности позволяет условие a≠0. А при a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0.

Наконец, условие b>0 следует из неравенства a>0, так как , а значение степени с положительным основанием a всегда положительно.

В заключение этого пункта скажем, что озвученное определение логарифма позволяет сразу указать значение логарифма, когда число под знаком логарифма есть некоторая степень основания. Действительно, определение логарифма позволяет утверждать, что если b=a^p, то логарифм числа b по основанию a равен p. То есть, справедливо равенство log_aa^p=p. Например, мы знаем, что 2³=8, тогда log₂8=3. Подробнее об этом мы поговорим в статье вычисление логарифмов.

Основное логарифмическое тождество

В предыдущем пункте нами была записана формула a^log_ab=b - это так называемое основное логарифмическое тождество. Оно напрямую следует из определения логарифма и справедливо при любых a и b, удовлетворяющих условиям a>0, a≠0 и b>0.

Основное логарифмическое тождество получило свое название неспроста - оно явно или неявно используется почти всюду, где приходится работать с логарифмами. В частности с помощью основного логарифмического тождества можно обосновать основные свойства логарифмов.