Решите уравнение 25^x+9·5^x−10=0.

Нам нужно решить показательное уравнение. Какой из методов решения показательных уравнений подходит в нашем случае? В записи уравнения две степени 25^x и 5^x. Показатели этих степеней одинаковые, а основание степени 25^x очевидно представляет собой квадрат основания степени 5^x. Эти соображения вкупе со свойствами степеней позволяют выразить степень 25^x через степень 5^x следующим образом: 25^x=(5²)^x=5^2·x=5^x·2=(5^x)². А это позволяет ввести новую переменную для решения заданного показательного уравнения. Итак, воспользуемся методом введения новой переменной.

Обозначим 5^x=t. Так как 25^x=(5^x)², то 25^x=t². Тогда уравнение 25^x+9·5^x−10=0 преобразуется в уравнение с новой переменной следующего вида t²+9·t−10=0. Это квадратное уравнение, решим его через дискриминант:

Теперь надо вернуться к старой переменной. Мы принимали 5^x=t и нашли t₁=−10 и t₂=1. Это приводит нас к совокупности двух уравнений 5^x=−10 и 5^x=1. Оба уравнения совокупности – это простейшие показательные уравнения. Первое из них решений не имеет, так как в его правой части находится отрицательное число. Второе уравнение 5^x=1 перепишем в виде 5^x=5⁰, откуда виден его единственный корень 0.

Таким образом, показательное уравнение 25^x+9·5^x−10=0 имеет единственный корень 0.

0.