Решите уравнения:

а) 2^x=−7

б)

в)

Очевидно, все заданные уравнения имеют вид a^x=b, где x – переменная, буквам a и b отвечают числа, причем a>0, a≠1. Как решаются такие уравнения, разобрано в статье «простейшие показательные уравнения». Воспользуемся полученными там результатами.

а) Основание степени в левой части уравнения 2^x=−7 больше нуля (2>0). Из этого и из определения степени следует, что 2^x>0 для любого значения переменной x. А число в правой части уравнения 2^x=−7 меньше нуля (−7<0). Отсюда делаем вывод, что равенство 2^x=−7 не может быть достигнуто ни при каких значениях переменной x. Другими словами, уравнение не имеет решений. По сути, это решение уравнения методом оценки.

Обычно, приведенные рассуждения проводят устно, а решение записывают так:
2^x=−7,
нет решений.

б) Для второго уравнения рассуждаем аналогично. Очевидно, . Из этого и из определения степени вытекает, что для любого значения переменной x. А , так как и (при необходимости изучите материал сравнение чисел). Следовательно, уравнение не имеет решений.

в) Уравнения решается также: 3^x>0, , следовательно, нет решений.

Здесь основную сложность представляет обоснование того, что числовое выражение в правой части отвечает отрицательному числу (это опять вопрос сравнения чисел). Приведем необходимые рассуждения:
, так как , а .
, так как , ведь 7>0 и , а из двух степеней с одинаковыми положительными показателями меньше та степень, у которой основание меньше.
А так как и , то .

а) нет решений

б) нет решений

в) нет решений