Решение показательных уравнений, сводящихся к числовым равенствам
Продолжаем разговор про решение показательных уравнений. Некоторые показательные уравнения в результате проведения ряда преобразований уравнения приводятся к числовым равенствам. Например, такими являются показательные уравнения 4x−22·x=2 и 
. Первое из них можно свести к неверному числовому равенству 4x−22·x=2, 4x−(22)x=2, 4x−4x=2, 0=2; второе - к верному числовому равенству , 
, 
, 32=9, 9=9. Сейчас мы подробно разберем, как проводится решение показательных уравнений, сводящихся к числовым равенствам. Начнем с теоретической части, где изложим основы метода решения уравнений, сводящихся к числовым равенствам. Закончим практической частью, в которой рассмотрим примеры решения типичных показательных уравнений.
Теория
Принципы решения уравнений, которые сводятся к числовым равенствам, едины для уравнений всех видов, в том числе и для показательных уравнений. Перечислим их.
- Если уравнение через переходы к равносильным уравнениям и уравнениям-следствиям приводится к неверному числовому равенству, то оно не имеет решений.
- Если уравнение через переходы к равносильным уравнениям и уравнениям-следствиям приводится к верному числовому равенству, и при этом не используются преобразования, в результате проведения которых могут появиться посторонние корни в рамках области допустимых значений для исходного уравнения (в основном это относится к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень), то решением уравнения является его ОДЗ.
Обоснование приведенных утверждений приведено в статье решение уравнений, сводящихся к числовым равенствам.
Пример решения показательного уравнения
Примерим утверждения из предыдущего пункта к показательным уравнениям 4x−22·x=2 и , которые мы приводили в пример в самом начале статьи. В соответствии с первым утверждением показательное уравнение 4x−22·x=2 не имеет решений как уравнение, сводящееся к неверному числовому равенству. А в соответствии со вторым утверждением решением показательного уравнения является его ОДЗ – множество всех действительных чисел без нуля, так как это уравнение сводится к верному числовому равенству при помощи преобразований, не приводящих к возникновению посторонних корней в рамках ОДЗ.
Давайте рассмотрим другие примеры решения показательных уравнений, сводящихся к числовым равенствам. На них продемонстрируем более строгое и подробное оформление решения.
