Решение показательных уравнений методом освобождения от внешней функции

Метод освобождения от внешней функции применяется для решения уравнений, имеющих структуру записи h(f(x))=h(g(x)), где f(x) и g(x) некоторые выражения с переменной x, а функция h такая, что принимает каждое свое значение только один раз. Внешними функциями h, отвечающими указанному условию, являются, в частности, непрерывные на своих областях определения и строго монотонные (возрастающие или убывающие) функции.

Тема данной статьи заставляет нас все рассматривать через призму показательных уравнений. Поэтому сейчас нужно привести примеры показательных уравнений, для решения которых подходит метод освобождения от внешней функции. Например, методом освобождения от внешней функции можно решить показательное уравнение 2^2·x+3=2^x−5. Действительно, это уравнение можно рассматривать как уравнение h(f(x))=h(g(x)), где f(x)=2·x+3, g(x)=x−5, а внешней функцией выступает показательная функция h (h(t)=2^t), которая каждое свое значение принимает только один раз, так как является непрерывной и возрастающей на области своего определения. Но это показательное уравнение можно решить и более привычными методами, например, методом уравнивания показателей. Так что стоит привести пример показательного уравнения более характерного в том смысле, что для его решения сложно предложить метод решения, отличный от метода освобождения от внешней функции. Вот такой пример: . Это показательное уравнение мы решим чуть позже.

Метод освобождения от внешней функции заключается в замене решения уравнения h(f(x))=h(g(x)) решением уравнения f(x)=g(x) на области допустимых значений (ОДЗ) переменной x для исходного уравнения. То есть, чтобы решить уравнение h(f(x))=h(g(x)), надо решить уравнение f(x)=g(x), после чего отсеять посторонние корни по ОДЗ для уравнения h(f(x))=h(g(x)) (или по условиям ОДЗ).

Поясним сказанное, обратившись к показательному уравнению 2^2·x+3=2^x−5. Как мы выше обосновали, его можно решить методом освобождения от внешней функции. Решение по этому методу подразумевает переход от показательного уравнения 2^2·x+3=2^x−5 к уравнению 2·x+3=x−5 (что соответствует освобождению от внешней функции h, которой здесь выступает показательная функция y=2^t) на ОДЗ для исходного уравнения.

Более полная информация представлена в материале решение уравнений методом освобождения от внешней функции.

К началу страницы

Вообще, решение уравнений методом освобождения от внешней функции, в том числе и показательных, связано с двумя основными сложностями. Первая сложность – разглядеть, что уравнение имеет структуру h(f(x))=h(g(x)). Вторая – обосновать, что функция h принимает каждое свое значение только один раз. Дальнейшее решение, обычно, не представляет сложностей.

Для иллюстрации сказанного возьмем упомянутое выше показательное уравнение . Если разглядеть, что заданное уравнение имеет структуру h(f(x))=h(g(x)), где f(x)=49^x+7, g(x)=8·7^x, h – такая функция, что h(t)=2^t3+5·3^2·t+1, и обосновать, что функция h - возрастающая, то можно по методу освобождения от внешней функции переходить к решению сравнительно простого уравнения 49^x+7=8·7^x. Давайте доведем до конца решение этого показательного уравнения методом освобождения от внешней функции.