Решите уравнение .

Нам нужно решить показательное уравнение. Какой из методов решения показательных уравнений позволит нам получить решение? Метод уравнивания показателей, как и метод логарифмирования, не подходит, так как заданное уравнение имеет неподходящую структуру записи. Не видна возможность введения новой переменной, так как нет одинаковых выражений с переменной и нет возможности их получить посредством преобразований. Метод разложения на множители, очевидно, тоже не подходит. Направлений для проведения преобразований тоже не видно. ОДЗ, очевидно, есть множество всех действительных чисел, поэтому, уравнение не решить через ОДЗ. Так по очереди отметаем и другие методы, пока не доходим до графического. Графический метод решения уравнений в нашем случае заслуживает внимания, так как довольно легко построить графики функций, отвечающие частям показательного уравнения , а другие более простые и привычные методы, как мы выяснили, оказываются бессильными. Итак, будем пробовать провести решение показательного уравнения графическим методом.

Графический метод в первую очередь требует построения графиков функций, отвечающих частям уравнения. Правой части нашего показательного уравнения соответствует показательная функция y=3^x, она хорошо изучена и ее график нам знаком. Правой части решаемого уравнения отвечает функция . Ее график довольно просто получить через геометрические преобразования графика функции y=2^x. Выполнив необходимые построения, имеем

Хорошо видно, что графики не имеют общих точек. Но это в видимой области. А как обстоит дело за ее пределами? В стороне минус бесконечности графики точно не могут пересечься, так как они уже в видимой области почти сливаются со своими горизонтальными асимптотами, которыми являются прямые y=0 и y=−5. В противоположную сторону наблюдается следующая картина: график функции y=3^x круче уходит наверх, чем график функции . И здесь хочется заключить, что и там точек пересечения нет. Но этого мы не знаем наверняка. Мы знаем только то, что и одна и другая функция монотонно возрастают до плюс бесконечности. Так что нам нужно выяснять, нет ли точек пересечения за пределами нашего рисунка в положительном направлении оси Ox. Давайте думать, как это сделать.

Давайте предположим, что при каком-то значении переменной x, обозначим его x₀, графики функций y=3^x и пересекаются, то есть, имеет место равенство . Из нашего рисунка понятно, что x₀ должно быть больше 9, так как при x₀≤9 графики, очевидно, не пересекаются. Итак, давайте считать, что для какого-то x₀, x₀>9, верно равенство . Но

• Во-первых, , так как левая часть записанного неравенства меньше правой на 5.
• Во-вторых, при x₀>9 имеет место неравенство (его решением является x₀>2, значит, оно верно и при x₀>9). Это неравенство и одно из свойств степеней, а именно свойство сравнения степеней с одинаковыми показателями, дает неравенство .
• В-третьих, при x₀>9 имеет место неравенство (его решением является x₀>−2, значит, оно верно и при x₀>9). В силу этого неравенства и свойства сравнения степеней с одинаковыми основаниями справедливо неравенство .
• Наконец, из трех полученных неравенств , , и свойства транзитивности следует, что .

Полученное неравенство противоречит нашему предположению. Так методом от противного доказано, что при x₀>9 графики функций y=3^x и не пересекаются.

Таким образом, графики функций y=3^x и не имеют точек пересечения. Значит, показательное уравнение не имеет решений. На этом решение показательного уравнения графическим методом завершено.

нет решений.