Математика на cleverstudents.ru

Числа, действия с числами

Действия с рациональными числами, правила, примеры, решения.

В этой статье мы разберем основные арифметические действия с рациональными числами: сложение, вычитание, умножение и деление, дадим правила выполнения этих действий и рассмотрим решения примеров.

Сложение рациональных чисел

Так как рациональные числа содержат натуральные числа, то смысл сложения рациональных чисел, должен быть согласован со смыслом сложения натуральных чисел. К примеру, сумма рациональных чисел вида 2+1/3 может означать такое действие: к 2 целым предметам добавили одну третью часть такого предмета, и теперь они рассматриваются совместно.

Теперь можно переходить к правилам сложения рациональных чисел, и к рассмотрению примеров применения этих правил.

Сложение нуля с другим рациональным числом

Сформулируем правило сложения рационального числа с нулем: прибавление нуля к любому числу дает это же число. С помощью букв это правило записывается так: a+0=a для любого рационального a, а в силу переместительного свойства сложения рациональных чисел также справедливо равенство 0+a=a.

Приведем пару примеров. Сумма рационального числа 0,5 и числа 0 равна 0,5. Еще пример: .

Сложение противоположных рациональных чисел

Теперь установим, как проводится сложение противоположных рациональных чисел: сумма противоположных чисел равна нулю. В буквенном виде это правило имеет такую запись: a+(−a)=0, для любого рационального a.

Например, рациональные числа 4,(35) и −4,(35) – противоположные, значит, их сумма равна нулю, то есть, 4,(35)+(−4,(35))=0. Другой пример: .

Сложение положительных рациональных чисел

Любое положительное рациональное число можно записать в виде обыкновенной дроби. Таким образом, для сложения положительных рациональных чисел нужно знать, как рациональные числа приводятся к виду обыкновенных дробей, и как выполняется сложение обыкновенных дробей.

Если складываемые рациональные числа можно записать как конечные десятичные дроби, либо как смешанные числа, то можно выполнить сложение десятичных дробей и сложение смешанных чисел соответственно.

Сложение рациональных чисел с разными знаками

Для сложения рациональных чисел с разными знаками используется правило сложения чисел с разными знаками: из большего модуля слагаемых надо вычесть меньший, и перед полученным числом поставить знак того числа, модуль которого больше.

Сложение отрицательных рациональных чисел

Сложение отрицательных рациональных чисел проводится по правилу сложения отрицательных чисел: складываются модули слагаемых и перед полученным числом ставится знак минус.

Приведем пример сложения отрицательных рациональных чисел.

Вычитание рациональных чисел

Переходим к рассмотрению следующего действия над рациональными числами – вычитания. Вычитание является действием, обратным к сложению. То есть, вычитание – это нахождение неизвестного слагаемого по сумме и известному слагаемому. Это также означает, что из равенства c+b=a следует, что a−b=с и a−c=b, и наоборот, из равенств a−b=с и a−c=b следует, что c+b=a.

Вычитание из большего положительного рационального числа меньшего числа сводится либо к вычитанию обыкновенных дробей, либо, если это удобно, к вычитанию десятичных дробей или вычитанию смешанных чисел.

В остальных случаях вычитание рациональных чисел заменяется сложением: к уменьшаемому прибавляется число, противоположное вычитаемому. То есть, a−b=a+(−b).

Это равенство доказывается на основании свойств действий с рациональными числами. Они позволяют записать такую цепочку равенств: (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a, откуда в силу смысла вычитания следует, что сумма вида a+(−b) является разностью чисел a и b.

Умножение рациональных чисел

Понятие числа расширяется от натуральных чисел к целым, а от целых чисел к рациональным. Это объясняет тот факт, что действия с целыми числами обладают всеми свойствами действий с натуральными числами. Следовательно, действия с рациональными числами должны обладать всеми свойствами действий с целыми числами. Однако для умножения рациональных чисел характерно еще одно свойство - свойство умножения взаимно обратных чисел.

С указанным принципом согласуются все перечисленные ниже правила умножения рациональных чисел.

Умножение на нуль

Начнем с правила умножения рационального числа на нуль: произведение любого числа a на нуль есть нуль. Запишем это утверждение в буквенном виде: a·0=0 для любого рационального числа a, а в силу переместительного свойства умножения это равенство можно переписать как 0·a=0.

Приведем примеры. Умножение рационального числа 5/12 на 0 дает 0, произведение нуля и отрицательного рационального числа также равно нулю. В частности произведение нуля на нуль есть нуль, то есть, 0·0=0.

Умножение на единицу

Теперь озвучим правило умножения рационального числа на единицу: умножение любого рационального числа a на 1 в результате дает число a. То есть, a·1=a или 1·a=a, для любого рационального a. Таким образом, единица является нейтральным числом по умножению.

Например, умножение рационального числа 4,73 на 1 в результате дает 4,73. Другой пример: произведение равно .

Произведение взаимно обратных чисел

Если множители являются взаимно обратными числами, то их произведение равно единице. То есть, a·a⁻¹=1.

Так произведение взаимно обратных чисел 7/8 и 8/7 равно единице. Аналогично, умножение −1,5 на −0,(6) в результате дает 1, так как −1,5=−3/2 и −0,(6)=−2/3, а −3/2 и −2/3 – взаимно обратные числа.

Умножение положительных рациональных чисел

В общем случае умножение положительных рациональных чисел можно свести к умножению обыкновенных дробей. Для этого множители нужно представить в виде обыкновенных дробей, если они сразу не являются таковыми.

Иногда удобно работать с конечными десятичными дробями, не выполняя переход к обыкновенным дробям.

В частном случае умножение положительных рациональных чисел может собой представлять умножение натуральных чисел, умножение натурального числа на обыкновенную дробь или умножение натурального числа на десятичную дробь.

Умножение рациональных чисел с разными знаками

Для умножения рациональных чисел с разными знаками применяется правило умножения чисел с разными знаками: надо умножить модули множителей и перед полученным числом поставить знак минус. Это правило позволяет от умножения рациональных чисел с разными знаками перейти к умножению положительных рациональных чисел, с которым мы разобрались в предыдущем пункте.

Рассмотрим решение примера.

Умножение отрицательных рациональных чисел

Умножение отрицательных рациональных чисел сводится к умножению положительных чисел. При этом применяется следующее правило умножения отрицательных чисел: нужно перемножить модули множителей.

Рассмотрим применение этого правила при решении примера.

Деление рациональных чисел

Деление представляет собой действие, обратное умножению. Иными словами, деление – это нахождение неизвестного множителя по известному произведению и другому множителю. То есть, смысл деления таков: из равенства b·c=a следует, что a:b=c и a:c=b, и, наоборот, из равенств a:b=c и a:c=b следует, что b·c=a.

На множестве рациональных чисел деление сложно считать самостоятельным действием, так как оно выполняется посредством умножения. Об этом свидетельствует следующее правило деления рациональных чисел: разделить число a на отличное от нуля число b – это все равно, что умножить делимое a на число, обратное делителю. То есть, на множестве рациональных чисел a:b=a·b⁻¹.

Доказать это равенство не составляет труда. Действительно, в силу свойств действий с рациональными числами справедливы равенства (a·b⁻¹)·b=a·(b⁻¹·b)=a·1=a, которые доказывают равенство a:b=a·b⁻¹.

Итак, деление рационального числа на отличное от нуля рациональное число сводится к умножению рациональных чисел.

Осталось лишь рассмотреть пример деления рациональных чисел по озвученному правилу.