Вычитание обыкновенных дробей: правила, примеры, решения.
Продолжаем изучать действия с обыкновенными дробями. Здесь мы разберемся, как проводится вычитание обыкновенных дробей. Сначала получим правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Дальше рассмотрим вычитание дробей с разными знаменателями и приведем примеры вычитания с подробными решениями. После этого остановимся на вычитании дроби из натурального числа и вычитании числа из дроби. В заключение покажем, как проводится вычитание обыкновенных дробей с использованием свойств этого действия.
Сразу заметим, что в этой статье мы будем говорить лишь о вычитании меньшей дроби из большей дроби. Другие случаи разобраны в статье вычитание рациональных чисел.
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Для начала приведем пример, который позволит нам выяснить, как проводится вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Пусть на тарелке находилось пять восьмых долей яблока, то есть, 5/8 яблока, после чего две восьмых доли забрали. По смыслу вычитания (смотрите общее представление о вычитании), указанное действие описывается так: 
. Понятно, что при этом на тарелке остается 5−2=3 восьмых доли яблока. То есть, 
.
Рассмотренный пример иллюстрирует правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями: при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитается числитель вычитаемого, а знаменатель остается прежним.
Озвученное правило с помощью букв записывается так: 
. Эту формулу и будем использовать при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями.
Рассмотрим примеры вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример.
Выполните вычитание обыкновенной дроби 17/15 из обыкновенной дроби 24/15.
Решение.
Знаменатели вычитаемых дробей равны. Числитель уменьшаемого равен 24, а числитель вычитаемого равен 17, их разность равна 7 (24−17=7 при необходимости смотрите вычитание натуральных чисел). Поэтому вычитание дробей с одинаковыми знаменателями 24/15 и 17/15 дает дробь 7/15.
Краткий вариант решения выглядит так: 
.
Ответ:
.
При возможности нужно проводить сокращение дроби и (или) выделение целой части из неправильной дроби, которая получается при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример.
Вычислите разность 
.
Решение.
Воспользуемся формулой вычитания дробей с одинаковыми знаменателями: 
.
Очевидно, числитель и знаменатель полученной дроби делятся на 2 (смотрите признак делимости на 2), то есть, 22/12 – сократимая дробь. Выполнив сокращение этой дроби на 2, приходим к дроби 11/6.
Дробь 11/6 – неправильная (смотрите правильные и неправильные дроби). Поэтому из нее нужно выделить целую часть: 
.
Итак, вычисляемая разность дробей с одинаковыми знаменателями равна 
.
Вот все решение: 
.
Ответ:
.
Вычитание дробей с разными знаменателями
Вычитание дробей с разными знаменателями сводится к вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого дроби с разными знаменателями достаточно привести к общему знаменателю.
Итак, чтобы провести вычитание дробей с разными знаменателями, надо:
- привести дроби к общему знаменателю (обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю);
- вычесть полученные дроби с одинаковыми знаменателями.
Рассмотрим примеры вычитания дробей с разными знаменателями.
Пример.
Отнимите от обыкновенной дроби 2/9 обыкновенную дробь 1/15.
Решение.
Так как знаменатели вычитаемых дробей разные, то сначала выполним приведение дробей к наименьшему общему знаменателю: так как НОК(9, 15)=45, то дополнительным множителем дроби 2/9 является число 45:9=5, а дополнительным множителем дроби 1/15 является число 45:15=3, тогда 
и 
.
Осталось вычесть из дроби 10/45 дробь 3/45, получаем 
, что и дает нам искомую разность дробей с разными знаменателями.
Кратко решение записывается так: 
.
Ответ:
.
Не следует забывать про сокращение полученной после вычитания дроби, а также про выделение целой части.
Пример.
Вычтите из дроби 19/9 дробь 7/36.
Решение.
После приведения дробей с разными знаменателями к наименьшему общему знаменателю 36, имеем дроби 76/9 и 7/36. Вычисляем их разность: 
.
Полученная дробь сократима, после ее сокращения на 3, получаем 23/12. А эта дробь неправильная, выделив из нее целую часть, имеем 
.
Соберем воедино все выполненные действия при вычитании исходных дробей с разными знаменателями: .
Ответ:
.
Вычитание натурального числа из обыкновенной дроби
Вычитание натурального числа из дроби можно свести к вычитанию обыкновенных дробей. Для этого достаточно представить натуральное число в виде дроби со знаменателем 1. Разберем решение примера.
Пример.
Выполните вычитание числа 3 из дроби 83/21.
Решение.
Так как число 3 равно дроби 3/1, то .
Ответ:
.
Однако вычитание натурального числа из неправильной дроби удобнее проводить, представив дробь в виде смешанного числа. Покажем решение предыдущего примера этим способом.
Пример.
Отнимите число 3 от дроби 83/21.
Решение.
Сначала выделим целую часть из неправильной дроби 83/21, имеем 
, тогда 
. Осталось провести вычитание натурального числа из смешанного числа: 
.
Ответ:
.
Вычитание обыкновенной дроби из натурального числа
Вычитание обыкновенной дроби из натурального числа можно свести к вычитанию обыкновенных дробей, представив натуральное число как дробь. Разберем решение примера, иллюстрирующего такой подход.
Пример.
Отнимите обыкновенную дробь 5/3 от натурального числа 7.
Решение.
Представим число 7 как дробь 7/1, после чего выполним вычитание: .
Выделив целую часть из полученной дроби, получаем окончательный ответ 
.
Ответ:
.
Однако существует более рациональный способ вычитания дроби из натурального числа. Его преимущества особенно заметны, когда уменьшаемое натуральное число и знаменатель вычитаемой дроби являются большими числами. Все это будет видно из примеров ниже.
Если вычитаемая дробь правильная, то уменьшаемое натуральное число можно заменить суммой двух чисел, одно из которых равно единице, отнять правильную дробь от единицы, после чего завершить вычисления.
Пример.
Выполните вычитание обыкновенной дроби 13/62 из натурального числа 1 065.
Решение.
Вычитаемая обыкновенная дробь – правильная. Заменим число 1 065 суммой 1 064+1, при этом получим 
. Осталось вычислить значение полученного выражения (подробнее о вычислении таких выражений мы поговорим в следующем пункте).
В силу свойств вычитания, полученное выражение можно переписать как 
. Вычислим значение разности в скобках, заменив единицу дробью 1/1, имеем 
. Таким образом, . На этом вычитание дроби 13/62 из натурального числа 1 065 завершено.
Вот все решение:
А теперь для сравнения покажем, с какими числами нам бы пришлось работать, если бы мы решили свести вычитание исходных чисел к вычитанию дробей:
Ответ:
.
Если же вычитаемая дробь неправильная, то ее можно заменить смешанным числом, после чего провести вычитание смешанного числа из натурального числа.
Пример.
Отнимите от натурального числа 644 дробь 73/5.
Решение.
Выделим целую часть из неправильной дроби: 
. Тогда .
Осталось лишь выполнить вычитание правильной дроби из натурального числа, поступим также как в предыдущем примере: .
Ответ:
.
Использование свойств вычитания при вычитании дробей
Для вычитания обыкновенных дробей справедливы все свойства вычитания натуральных чисел. Это следует из смысла, который мы придали обыкновенным дробям и операции вычитания дробей. Свойства вычитания позволяют вычислять значения выражений с дробями. Рассмотрим примеры.
Пример.
Вычислите значение выражения 
.
Решение.
Решения подобных примеров с натуральными числами разобраны в разделе вычитание суммы из числа. Здесь будем действовать аналогично.
Сначала вычислим разность 
, после чего от нее отнимем дробь 5/6. Итак, 
и 
. После выделения целой части из полученной неправильной дроби получаем 
.
Так выглядит краткая запись решения: .
Ответ:
.
Когда выражение содержит и натуральные числа и дроби, то при вычислении удобно группировать числа с числами, а дроби с дробями.
Пример.
Выполните вычитание суммы натурального числа и обыкновенной дроби
из суммы натурального числа и обыкновенной дроби 
.
Решение.
Нам нужно вычислить разность 
. Свойства сложения и вычитания позволяют нам провести следующую группировку , что упрощает вычисления. Осталось лишь закончить вычисления: .
Ответ:
.
Список литературы.
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.