Сравнение рациональных чисел, правила, примеры.
В этой статье дается подробный обзор наиболее важных моментов, касающихся сравнения рациональных чисел. Если знаки сравниваемых чисел различны, то можно сразу сказать, какое число больше, а какое меньше, поэтому в самом начале мы разберем правило сравнения рациональных чисел с разными знаками. Дальше остановимся на сравнении нуля с другим рациональным числом. После этого подробно остановимся на сравнении положительных рациональных чисел. Наконец, перейдем к правилу сравнения отрицательных рациональных чисел. Теорию будем разбавлять решениями характерных примеров.
Сравнение рациональных чисел с разными знаками
Проще всего выполнить сравнение двух рациональных чисел, имеющих разные знаки. При этом используется правило сравнения чисел с разными знаками: любое положительное число больше любого отрицательного, а любое отрицательное число меньше положительного.
Например, из двух рациональных чисел 5/7 и −0,25 больше число 5/7, так как оно положительное, а меньше число −0,25, так как оно отрицательное. Еще пример: отрицательное рациональное число 
меньше, чем положительное рациональное число 0,000(1).
Сравнение рационального числа с нулем
Очень просто проводится сравнение нуля с рациональным числом, отличным от нуля. При этом справедливо правило: любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное число меньше нуля.
Приведем пару примеров сравнения рационального числа с нулем. Число 4/9 больше, чем 0, так как 4/9 – положительное число, с другой стороны 0 меньше, чем 4/9. Еще пример: число 0 больше, чем отрицательное рациональное число −45,5, с другой стороны число −45,5 меньше нуля.
Также нужно сказать, про сравнение нуля с нулем: нуль равен нулю, то есть, 0=0.
Здесь нужно заметить, что число нуль может быть записано в виде, отличном от 0. Действительно, числу 0 отвечает любая запись вида 0/n, где n – любое натуральное число, или записи 0,0, 0,00, …, вплоть до 0,(0). То есть, например, при сравнении двух рациональных чисел, записи которых имеют вид 0,00 и 0/3, заключаем, что они равны, так как эти записи отвечают числам 0 и 0 соответственно.
Сравнение положительных рациональных чисел
Сравнение положительных рациональных чисел следует начинать со сравнения их целых частей. При этом используется следующее правило: больше то число, целая часть которого больше, а меньше то число, целая часть которого меньше.
Пример.
Какое из рациональных чисел 0,76 и 
больше?
Решение.
Сравниваемые рациональные числа положительные, причем достаточно очевидно, что целая часть числа 0,76, равная нулю, меньше целой части числа , равной двум (при необходимости смотрите сравнение целых чисел). Следовательно, 
, значит, из двух исходных чисел больше число .
Ответ:
.
Нюансы в применении указанного выше правила могут возникнуть лишь тогда, когда одним из сравниваемых чисел является периодическая десятичная дробь с периодом 9, о чем мы упоминали в разделе равные и неравные десятичные дроби.
Пример.
Сравните рациональные числа 15 и 14,(9).
Решение.
Периодическая дробь с периодом 9 вида 14,(9) является лишь одной из форм записи числа 15. То есть, 15=14,(9).
Ответ:
исходные рациональные числа равны.
Если же целые части сравниваемых рациональных чисел равны, итоговый результат сравнения поможет получить сравнение дробных частей. Дробную часть рационального числа всегда можно представить в виде обыкновенной дроби m/n, а также в виде конечной или периодической десятичной дроби. Таким образом, сравнение дробных частей двух положительных рациональных чисел всегда можно свести к сравнению обыкновенных дробей или к сравнению десятичных дробей. В итоге из двух положительных рациональных чисел с равными целыми частями больше то, дробная часть которого больше, а меньше то – дробная часть которого меньше.
Пример.
Проведите сравнение положительных рациональных чисел 3,7 и 
.
Решение.
Очевидно, целые части сравниваемых рациональных чисел равны 3=3. Переходим к сравнению дробных частей, то есть, к сравнению чисел 0,7 и 2/3.
Покажем два способа.
В первом из осуществим перевод десятичной дроби в обыкновенную: 0,7=7/10. Приходим к сравнению обыкновенных дробей 7/10 и 2/3. После их приведения к общему знаменателю 30 получаем 
, откуда следует, что 
и 
. Следовательно, 
.
Во втором варианте решения выполним перевод обыкновенной дроби в десятичную, имеем 
. Так от сравнения 0,7 и 2/3 мы пришли к сравнению десятичных дробей 0,7 и 0,(6), результат которого таков: 0,7>0,(6). Следовательно, и .
Очевидно, оба способа нас привели к одинаковому результату сравнения исходных рациональных чисел.
Ответ:
.
Если равны и целые и дробные части сравниваемых положительных рациональных чисел, то эти числа равны.
Пример.
Сравните числа 4,5 и 
.
Решение.
Очевидно, целые части чисел равны. Дробная часть числа 4,5 равна 0,5, перевод этой десятичной дроби в обыкновенную дает 1/2. Таким образом, дробные части исходные чисел тоже равны. Следовательно, исходные рациональные числа равны.
Ответ:
Закончим этот пункт следующим утверждением: если записи сравниваемых чисел полностью совпадают, то эти числа равны. Действительно, в этом случае равны и целые части и дробные части сравниваемых чисел. Например, равными являются рациональные числа 5,698 и 5,698, также равны числа 
и .
Сравнение отрицательных рациональных чисел
Сравнение отрицательных рациональных чисел подчиняется правилу сравнения отрицательных чисел: из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше, и меньше то, модуль которого больше.
Это правило сводит сравнение отрицательных рациональных чисел к сравнению положительных рациональных чисел, разобранному в предыдущем пункте.
Пример.
Сравните числа −15,2 и 
.
Решение.
Сравниваемые рациональные числа отрицательные. Модули чисел равны соответственно 15,2 и 5/9. Целая часть числа 15,2 равна 15, и она больше целой части числа 5/9, равной нулю. Следовательно, 
. Тогда, согласно правилу сравнения отрицательных чисел, число −15,2 меньше числа , так как модуль числа −15,2 больше модуля числа .
Ответ:
.
Пример.
Выполните сравнение отрицательных рациональных чисел −1,11 и 
.
Решение.
Модули сравниваемых чисел равны 1,11 и 
соответственно. Очевидно, их целые части равны. Сравним дробные части, то есть, сравним 0,11 и 4/25. Так как 0,11=11/100 и 4/25=16/100, а 
, то 
, следовательно, 
. Тогда 
. На этом сравнение отрицательных рациональных чисел завершено.
Ответ:
.
Список литературы.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).