Математика на cleverstudents.ru

Числа, действия с числами

Вычитание смешанных чисел: правила, примеры, решения.

Сейчас мы изучим правила, по которым выполняется вычитание смешанных чисел. Сначала на примерах разберемся со всеми нюансами, возникающими при вычитании смешанных чисел. Дальше остановимся на вычитании обыкновенной дроби и натурального числа из смешанного числа. В заключение рассмотрим вычитание смешанного числа из дроби и натурального числа.

Сразу отметим, что мы будем говорить лишь о вычитании меньшего числа из большего числа. Остальные случаи разобраны в статье вычитание рациональных чисел.

Вычитание смешанных чисел

Пусть нам нужно выполнить вычитание смешанных чисел и . Мы знаем, что любое смешанное число можно представить в виде суммы своей целой и дробной части, тогда .

Свойства сложения и вычитания позволяют вычислять значение последнего выражения по-разному (примеры вычисления значений аналогичных выражения мы разбирали в пункте использование свойств вычитания при вычитании дробей). В зависимости от значений дробных частей смешанных чисел и следует придерживаться следующих вариантов вычисления:

• Если дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого, то есть, , то вычитание смешанных чисел удобно проводить так: .

  Пример.

  Проведите вычитание смешанного числа из смешанного числа .

  Решение.

  Дробная часть смешанного числа равна 5/6, а дробная часть смешанного числа равна 4/9. Чтобы выяснить, какая из дробей больше, приведем дроби к наименьшему общему знаменателю: НОК(6, 9)=18, тогда дополнительным множителем дроби 5/6 является 18:6=3, а дополнительным множителем дроби 4/9 является 18:9=2, поэтому и . Так как , то (при необходимости смотрите сравнение обыкновенных дробей). То есть, дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого.

  Тогда вычитание данных смешанных чисел сводится к отдельному вычитанию целых частей и дробных частей: .

  Выполняем вычитание натуральных чисел 3 и 2, имеем 3−2=1, и проводим вычитание дробей с разными знаменателями 5/6 и 4/9, получаем . Таким образом, .

  Ответ:

  .

• Если дробные части вычитаемых смешанных чисел равны, то есть , то их разность равна нулю, следовательно, разность смешанных чисел будет равна разности целых частей исходных смешанных чисел: .

  Пример.

  Отнимите от смешанного числа смешанное число .

  Решение.

  Очевидно, дробные части исходных смешанных чисел равны, следовательно, разность дробных частей будет равна нулю. Следовательно, вычитание смешанных чисел сведется к вычитанию их целых частей:
  

  Ответ:

  .

• Если же дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то есть, , то вычитание смешанных чисел логично выполнять так: .

  Пример.

  Найдите значение разности смешанных чисел вида .

  Решение.

  Приведем дробные части смешанных чисел к наименьшему общему знаменателю, чтобы узнать, какая из них больше. Наименьший общий знаменатель равен НОК(5, 15)=15, тогда , а дробь 14/15 уже имеет нужный знаменатель. Так как , то дробная часть уменьшаемого смешанного числа меньше дробной части вычитаемого смешанного числа.

  Поэтому, вычитание смешанных чисел будем проводить так:
  

  Сначала выполним вычитание дроби из натурального числа в скобках:
  
  Тогда .

  Ответ:

  .

Вычитание обыкновенной дроби из смешанного числа

Вычитание правильной дроби из смешанного числа проводится аналогично вычитанию смешанных чисел. Рассмотрим решения примеров.

Для полноты картины отметим, что если дробная часть смешанного числа равна вычитаемой дроби, то разность будет равна целой части уменьшаемого смешанного числа. Например, .

Вычитание неправильной дроби из смешанного числа сводится к вычитанию смешанных чисел после выделения целой части из неправильной дроби.

Вычитание натурального числа из смешанного числа

Запишем правило вычитания натурального числа из смешанного числа: чтобы вычесть из смешанного числа натуральное число, надо вычесть данное натуральное число из целой части смешанного числа, а дробную часть оставить без изменения. То есть, .

Вычитание смешанного числа из обыкновенной дроби

Пусть нам нужно вычесть из обыкновенной дроби смешанное число. Так как любое смешанное число больше единицы, а уменьшаемая дробь должна быть больше вычитаемого, то эта дробь неправильная. После выделения целой части из неправильной дроби, вычитание смешанного числа из обыкновенной дроби сводится к вычитанию смешанных чисел. Разберем решение примера.

Вычитание смешанного числа из натурального числа

При вычитании смешанного числа из натурального числа нужно от натурального числа сначала отнять целую часть смешанного числа, после чего из полученной разности вычесть дробную часть. Действительно, .