Сложение десятичных дробей, правила, примеры, решения.
Одним из арифметических действий с десятичными дробями является сложение десятичных дробей. В этой статье мы рассмотрим правила сложения конечных десятичных дробей, на примерах разберем, как проводится сложение конечных десятичных дробей столбиком, а также остановимся на принципах сложения бесконечных периодических и непериодических десятичных дробей. В заключение остановимся на сложении десятичных дробей с натуральными числами, обыкновенными дробями и смешанными числами.
Отметим, что в этой статье мы будем говорить лишь о сложении положительных десятичных дробей (смотрите положительные и отрицательные числа). Остальные варианты покрываются материалом статей сложение рациональных чисел и сложение действительных чисел.
Общие принципы сложения десятичных дробей
В статье перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби мы сказали, что конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби представляют собой десятичную запись соответствующих обыкновенных дробей. Таким образом, сложение конечных десятичных дробей, сложение периодических десятичных дробей, а также сложение конечной десятичной дроби с периодической дробью по своей сути является сложением соответствующих обыкновенных дробей.
Для начала рассмотрим пример сложения двух конечных десятичных дробей, придерживаясь озвученного принципа сложения. Но прежде чем это сделать, отметим, что существует способ сложения конечных десятичных дробей столбиком, позволяющий обойтись без их перевода в обыкновенные дроби, о нем мы поговорим в следующем разделе данной статьи.
Пример.
Выполните сложение десятичной дроби 0,43 и десятичной дроби 3,7.
Решение.
Десятичной дроби 0,43 соответствует обыкновенная дробь 43/100, а десятичной дроби 3,7 – обыкновенная дробь 37/10 (при необходимости смотрите перевод конечных десятичных дробей в обыкновенные). Таким образом, 0,43+3,7=43/100+37/10.
Осталось выполнить сложение обыкновенных дробей с разными знаменателями: . Полученную дробь можно записать в виде десятичной дроби как 4,13 (смотрите перевод обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, … в десятичные).
На этом сложение конечных десятичных дробей завершено.
Ответ:
4,13.
Теперь добавим к рассмотрению периодические десятичные дроби.
Пример.
Сложите конечную десятичную дробь 0,2 с периодической десятичной дробью 0,(45).
Решение.
Сначала переведем складываемые десятичные дроби в обыкновенные дроби. Имеем и (смотрите перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби).
Тогда .
Полученную обыкновенную дробь при необходимости можно записать в виде десятичной дроби (смотрите перевод обыкновенной дроби в периодическую десятичную дробь):
Ответ:
0,2+0,(45)=0,65(45).
Теперь остановимся на принципе сложения бесконечных непериодических десятичных дробей.
Напомним, что бесконечные непериодические десятичные дроби в отличие от конечных и периодических десятичных дробей не могут быть представлены в виде обыкновенных дробей (они представляют иррациональные числа), поэтому сложение бесконечных непериодических дробей не может быть сведено к сложению обыкновенных дробей.
При выполнении сложения бесконечных непериодических дробей их заменяют приближенными значениями, то есть, предварительно проводят их округление (смотрите округление чисел) до некоторого разряда. Повышая точность, с которой берутся приближенные значения исходных бесконечных непериодических десятичных дробей, получается более точное значение результата сложения. Таким образом, сложение бесконечных непериодических десятичных дробей сводится к сложению конечных десятичных дробей.
Рассмотрим решение примера.
Пример.
Проведите сложение бесконечных непериодических десятичных дробей 4,358… и 11,11002244….
Решение.
Округлим складываемые десятичные дроби до сотых (до тысячных мы уже не сможем округлить дробь 4,358…, так как значение разряда десятитысячных неизвестно), имеем 4,358…≈4,36 и 11,11002244…≈11,11. Теперь осталось сложить конечные десятичные дроби: .
Ответ:
4,358…+11,11002244…≈15,47.
В заключение этого пункта скажем, что для сложения положительных десятичных дробей характерны все свойства сложения натуральных чисел. То есть, сочетательное свойство сложения позволяет однозначно определить сложение трех и большего количества десятичных дробей, а переместительное свойство сложения позволяет переставлять складываемые десятичные дроби местами.
Сложение десятичных дробей столбиком
Достаточно удобно выполнять сложение конечных десятичных дробей столбиком. Этот способ позволяет обойтись без перевода складываемых десятичных дробей в обыкновенные дроби.
Чтобы выполнить сложение десятичных дробей столбиком, надо:
- записать одну дробь под другой так, чтобы одинаковые разряды оказались друг под другом, а запятая под запятой (для удобства можно уравнять количество десятичных знаков, приписав к одной из дробей справа некоторое количество нулей);
- дальше, не обращая внимания на запятые, выполнить сложение так, как выполняется сложение столбиком натуральных чисел;
- в полученной сумме поставить десятичную запятую так, чтобы она находилась под десятичными запятыми слагаемых.
Для ясности рассмотрим пример сложения десятичных дробей столбиком.
Пример.
Проведите сложение десятичных дробей 30,265 и 1 055,02597.
Решение.
Выполним сложение десятичных дробей столбиком.
Для начала уравняем количество десятичных знаков в складываемых дробях. Для этого нужно дописать два нуля справа в дроби 30,265, при этом получится равная ей дробь 30,26500.
Теперь записываем дроби 30,26500 и 1 055,02597 в столбик, чтобы соответствующие разряды были друг под другом:
Выполняем сложение по правилам сложения в столбик, не обращая внимания на запятые:
Осталось лишь поставить десятичную запятую в полученном числе, после чего сложение десятичных дробей столбиком принимает законченный вид:
Ответ:
30,26500+1 055,02597=1 085,29097.
Сложение десятичных дробей с натуральными числами
Сразу озвучим правило сложения десятичных дробей с натуральными числами: чтобы сложить десятичную дробь и натуральное число нужно данное натуральное число прибавить к целой части десятичной дроби, а дробную часть оставить прежней. Это правило относится как к конечным десятичным дробям, так и к бесконечным.
Разберем пример применения этого правила.
Пример.
Вычислите сумму десятичной дроби 6,36 и натурального числа 48.
Решение.
Целая часть десятичной дроби 6,36 равна 6, если к ней прибавить натуральное число 48, то мы получим число 54. Таким образом, 6,36+48=54,36.
Ответ:
6,36+48=54,36.
Сложение десятичных дробей с обыкновенными дробями и смешанными числами
Сложение конечных десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби с обыкновенной дробью или смешанным числом можно свести к сложению обыкновенных дробей или сложению обыкновенной дроби и смешанного числа. Для этого десятичную дробь достаточно заменить равной ей обыкновенной дробью.
Пример.
Выполните сложение десятичной дроби 0,45 и обыкновенной дроби 3/8.
Решение.
Заменим десятичную дробь 0,45 обыкновенной дробью: . После этого сложение десятичной дроби 0,45 и обыкновенной дроби 3/8 сводится к сложению обыкновенных дробей 9/20 и 3/8. Закончим вычисления: . При надобности полученную обыкновенную дробь можно перевести в десятичную.
Ответ:
.
Пример.
Сложите смешанное число и периодическую десятичную дробь 0,(7).
Решение.
Переведем бесконечную периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь: .
Теперь сложение смешанного числа и периодической десятичной дроби сводится к сложению смешанного числа и обыкновенной дроби: .
Ответ:
.
Сложение бесконечной непериодической десятичной дроби с обыкновенной дробью или смешанным числом можно свести к сложению десятичных дробей. Для этого прибавляемую обыкновенную дробь или смешанное число нужно представить в виде десятичной дроби. Дальше проводится округление складываемых дробей до некоторого разряда, после чего складываются конечные десятичные дроби.
Разберемся с этим, рассмотрев решение примера.
Пример.
Выполните сложение бесконечной непериодической десятичной дроби 0,045265… и смешанного числа .
Решение.
Сначала запишем смешанное число в виде десятичной дроби: .
Теперь нам нужно сложить бесконечную непериодическую десятичную дробь 0,045265… и конечную десятичную дробь 3,75. Это мы можем сделать после округления бесконечной десятичной дроби. Округление проведем до стотысячных, имеем 0,045265≈0,04527.
Так мы приходим к сложению конечных десятичных дробей 0,04527 и 3,75. Осталось лишь закончить вычисления: 0,04527+3,75=3,79527.
Запишем кратко все решение: .
Ответ:
.
Список литературы.
- Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
- Математика. 6 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.