Математика на cleverstudents.ru

Числа, действия с числами

Общее представление о сложении натуральных чисел.

В этой статье мы расширим границы применения натуральных чисел, определив действие, которое назовем сложением натуральных чисел. Сначала поговорим о сути сложения в общем, чтобы стало понятно предназначение этого действия. Это позволит нам придать смысл сложению натуральных чисел. Дальше введем терминологию и обозначения. В заключении приведем обзор основных задач, которые решаются с помощью сложения натуральных чисел.

Сложение – общее представление об этом действии.

Под сложением будем понимать действие, которое связано с объединением двух множеств в одно. При этом элементы объединяемых множеств могут быть какой угодно природы.

Приведем примеры.

Представим, что с яблони оборвали яблоки, а с груши оборвали груши, после чего все фрукты поместили в один ящик. В этом случае говорят, что фрукты сложили в один ящик.

Еще пример. У одного рабочего не хватает силы, чтобы поднять груз. А вместе со своим напарником они справляются в этой задачей. В этом случае можно сказать, что рабочие «складывают» свои усилия, чтобы достигнуть результата.

Из приведенных примеров виден смысл действия сложение, который можно охарактеризовать словами «объединили», «вместе», «совместно» и т.п.

Смысл сложения натуральных чисел.

Если же учитывать количества предметов в объединяемых множествах (например, количества сорванных яблок и груш), то можно говорить не только о сложении в общем, но и о сложении натуральных чисел. При этом складываемые натуральные числа указывают количества складываемых предметов (в нашем примере складываемые натуральные числа указывают количества яблок и груш).

Теперь самое время задуматься над вопросом: «Зачем нужно сложение натуральных чисел, в чем его ценность и смысл»?

Чтобы ответить на этот вопрос, вернемся к нашему примеру. Пусть нам теперь нужно узнать, какое количество фруктов находится в ящике? Несомненно, можно пересчитать все фрукты и так узнать их количество. Однако, мы уже пересчитывали и собранные яблоки и груши, и вот опять придется заниматься пересчетом. Так вот чтобы обойтись без этого пересчета, и было придумано сложение натуральных чисел.

Итак, сложение двух натуральных чисел, которые указывают количества складываемых предметов, позволяет узнать количество предметов после сложения, не прибегая к счету. В этом заключается суть сложения двух натуральных чисел.

Понятно, что в озвученном смысле результатом сложения натуральных чисел является натуральное число (показывающее общее количество предметов после их сложения).

Слагаемые, сумма, знак плюс «+».

Давайте определимся с терминами и обозначениями, которые мы будем использовать при описании сложения натуральных чисел.

Для краткой записи сложения будем использовать знак плюс вида «+», который будем располагать между складываемыми числами. Например, запись 4+17 (подобные записи называются числовыми выражениями) означает, что складываются натуральные числа 4 и 17.

Складываемые натуральные числа будем называть слагаемыми. Результат сложения натуральных чисел будем называть суммой. Суммой данных натуральных чисел будем также называть запись, составленную из этих натуральных чисел, соединенных знаком плюс.

Иногда для удобства слагаемые в суммах нумеруют слева направо. Например, сумму 2+5 составляют два слагаемых, число 2 – первое слагаемое, число 5 – второе слагаемое.

«Сложить числа» или «вычислить сумму» или «найти сумму» – значит найти число, которое является результатом сложения этих чисел.

Результатом сложения двух натуральных чисел 3 и 6 является число 9 (если сложить 3 яблока и 6 яблок, то получим 9 яблок, что легко проверить пересчетом), то есть, сумма чисел 3 и 6 есть число 9. Для краткой записи таких суждений будем использовать знак «равно» вида «=» (о знаке «=» Вы можете получить информацию в разделе равные и неравные натуральные числа). Слева от знака равно будем записывать числовое выражение (в нашем примере 3+6), а справа – значение этого выражения (в нашем примере 9): 3+6=9. Эта запись читается как «сумма трех и шести равна девяти».

Таким образом, сложение двух натуральных чисел и его результат условно можно представить так:
слагаемое + слагаемое = сумма.

Основные задачи, решаемые с помощью сложения.

Сейчас обозначим круг задач, которые решаются с использованием сложения натуральных чисел.

Во-первых, это задачи на вычисление количества предметов после их объединения. Например, если в машину загрузили 3 холодильника и 6 газовых плит, то общее количество кухонных предметов, загруженных в машину, будет определяться суммой двух натуральных чисел 3 и 6.

Во-вторых, с помощью сложения натуральных чисел решаются задачи на увеличение значений некоторых величин (времени, длины, площади, объема, денежных единиц и т.п.). Приведем несколько примеров.

Спортсмен 10 минут разминался, после чего 45 минут тренировался. Тогда, сложив числа 10 и 45, мы узнаем, сколько минут потребовалось спортсмену на эти два занятия.

Турист 15 километров проехал на велосипеде и 5 километров прошел пешком. Если мы сложим натуральные числа 15 и 5, то узнаем общее расстояние, которое преодолел турист.

Продавец продал одну игрушку за 100 рублей и одну игрушку за 80 рублей. Выручку продавца в рублях мы можем подсчитать, если сложим натуральные числа 100 и 80.

В-третьих, сложение натуральных чисел позволяет справляться с задачами на совместную производительность труда. Вот условие одной из таких задач: первый насос перекачивает за 1 час 30 000 литров воды, а второй – 50 000 литров, сколько литров за час перекачают оба насоса, работая одновременно? Сумма натуральных чисел 30 000 и 50 000 является ответом на поставленный вопрос.