Математика на cleverstudents.ru

Числа, действия с числами

Десятичные дроби, определения, запись, примеры, действия с десятичными дробями.

Эта статья про десятичные дроби. Здесь мы разберемся с десятичной записью дробных чисел, введем понятие десятичной дроби и приведем примеры десятичных дробей. Дальше поговорим о разрядах десятичных дробей, дадим названия разрядов. После этого остановимся на бесконечных десятичных дробях, скажем о периодических и непериодических дробях. Дальше перечислим основные действия с десятичными дробями. В заключение установим положение десятичных дробей на координатном луче.

Десятичная запись дробного числа

Дробные числа, так же как и натуральные числа, можно представлять в виде десятичной записи дробного числа.

Внешний вид дробного числа в десятичной записи представляет собой некоторый набор из двух или большего количества цифр от 0 до 9, записанных в строку, и между двумя из цифр находится запятая, которую часто называют десятичной запятой. Крайняя цифра слева в десятичной записи числа отлична от цифры 0, исключение составляют лишь те случаи, когда десятичная запятая стоит сразу после первой цифры 0.

Для иллюстрации приведем несколько примеров дробных чисел в виде десятичной записи: 34,21, 0,35035044, 0,0001, 11 231 552,9. Следует отметить, что часто вместо десятичной запятой ставят десятичную точку, в этом случае только что записанные числа будут выглядеть так: 34.21, 0.35035044, 0.0001, 11 231 552.9.

Десятичные дроби, определение, примеры десятичных дробей

Отталкиваясь от десятичной записи чисел, можно дать определение десятичных дробей.

Озвученное определение позволяет привести примеры десятичных дробей: 152,21, 3,00762, 0,15, 0,00000003, 598 567 321,3500.

Возникает логичный вопрос: «Для чего нужны десятичные дроби»?

Например, десятичные дроби дают возможность более компактно записывать правильные обыкновенные дроби, знаменателями которых являются числа 10, 100, 1 000, …, и смешанные числа, знаменателями дробной части которых является числа 10, 100, 1 000, и т.д. К примеру, обыкновенной дроби 8/10 отвечает десятичная дробь 0,8, десятичной дроби 23/10 000 соответствует десятичная дробь 0,0023, смешанному числу соответствует десятичная дробь 512,03.

Отсюда вытекает следующий вопрос: «Как дробные числа со знаменателями 10, 100, … записываются в виде десятичных дробей»?

Ответом на него является информация из раздела перевод обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, … в десятичные дроби.

Чтение десятичных дробей

Скажем пару слов о правилах чтения десятичных дробей.

Десятичные дроби, которым соответствуют правильные обыкновенные дроби, читаются также как и эти обыкновенные дроби, только еще предварительно добавляется «ноль целых». Например, десятичной дроби 0,12 отвечает обыкновенная дробь 12/100 (читается «двенадцать сотых»), поэтому, 0,12 читается как «нуль целых двенадцать сотых».

Десятичные дроби, которым соответствуют смешанные числа, читаются абсолютно также как эти смешанные числа. Например, десятичной дроби 56,002 соответствует смешанное число , поэтому, десятичная дробь 56,002 читается как «пятьдесят шесть целых две тысячных».

Разряды в десятичных дробях

В записи десятичных дробей, также как и в записи натуральных чисел, значение каждой цифры зависит от ее позиции. Действительно, цифра 3 в десятичной дроби 0,3 означает три десятых, в десятичной дроби 0,0003 – три десяти тысячных, а в десятичной дроби 30 000,152 – три десятка тысяч. Таким образом, мы можем говорить о разрядах в десятичных дробях, так же как и о разрядах в натуральных числах.

Названия разрядов в десятичной дроби до десятичной запятой полностью совпадают с названиями разрядов в натуральных числах. А названия разрядов в десятичной дроби после запятой видны из следующей таблицы.

Например, в десятичной дроби 37,051 цифра 3 находится в разряде десятков, 7 – в разряде единиц, 0 стоит в разряде десятых, 5 – в разряде сотых, 1 – в разряде тысячных.

Разряды в десятичной дроби также различаются по старшинству. Если в записи десятичной дроби двигаться от цифры к цифре слева на право, то мы будем перемещаться от старших к младшим разрядам. Например, разряд сотен старше разряда десятых, а разряд миллионных младше разряда сотых. В данной конечной десятичной дроби можно говорить о старшем и младшем разряде. К примеру, в десятичной дроби 604,9387 старшим (высшим) разрядом является разряд сотен, а младшим (низшим) - разряд десятитысячных.

Для десятичных дробей имеет место разложение по разрядам. Оно аналогично разложению по разрядам натуральных чисел. Например, разложение по разрядам десятичной дроби 45,6072 таково: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. А свойства сложения от разложения десятичной дроби по разрядам позволяют перейти к другим представлениям этой десятичной дроби, например, 45,6072=45+0,6072, или 45,6072=40,6+5,007+0,0002, или 45,6072=45,0072+0,6.

Конечные десятичные дроби

До этого момента мы говорили лишь о десятичных дробях, в записи которых после десятичной запятой находится конечное число цифр. Такие дроби называют конечными десятичными дробями.

Приведем несколько примеров конечных десятичных дробей: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230 032,45.

Любая конечная десятичная дробь может быть переведена в обыкновенную дробь или смешанное число (смотрите перевод конечных десятичных дробей в обыкновенные дроби). Например, конечной десятичной дроби 5,63 соответствует дробное число , а конечной десятичной дроби 0,2 отвечает правильная обыкновенная дробь 2/10 (или любая равная ей дробь, например, 1/5 или 10/50, смотрите равные и неравные обыкновенные дроби).

Однако не всякая обыкновенная дробь может быть представлена в виде конечной десятичной дроби. К примеру, дробь 5/13 не может быть заменена равной ей дробью с одним из знаменателей 10, 100, …, следовательно, не может быть переведена в конечную десятичную дробь. Подробнее об этом мы поговорим в разделе теории перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби.

Бесконечные десятичные дроби: периодические дроби и непериодические дроби

В записи десятичной дроби после запятой можно допустить возможность наличия бесконечного количества цифр. В этом случае мы придем к рассмотрению так называемых бесконечных десятичных дробей.

Понятно, что бесконечные десятичные дроби мы не можем записать в полном виде, поэтому в их записи ограничиваются лишь некоторым конечным числом цифр после запятой и ставят многоточие, указывающее на бесконечно продолжающуюся последовательность цифр. Приведем несколько примеров бесконечных десятичных дробей: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Если внимательно посмотреть на две последние бесконечные десятичные дроби, то в дроби 2,111111111… хорошо видна бесконечно повторяющаяся цифра 1, а в дроби 69,74152152152…, начиная с третьего знака после запятой, отчетливо видна повторяющаяся группа цифр 1, 5 и 2. Такие бесконечные десятичные дроби называют периодическими.

Например, периодом периодической дроби 2,111111111… является цифра 1, а периодом дроби 69,74152152152… является группа цифр вида 152.

Для бесконечных периодических десятичных дробей принята особая форма записи. Для краткости условились период записывать один раз, заключая его в круглые скобки. Например, периодическая дробь 2,111111111… записывается как 2,(1), а периодическая дробь 69,74152152152… записывается как 69,74(152).

Стоит отметить, что для одной и той же периодической десятичной дроби можно указать различные периоды. Например, периодическую десятичную дробь 0,73333… можно рассматривать как дробь 0,7(3) с периодом 3, а также как дробь 0,7(33) с периодом 33, и так далее 0,7(333), 0,7(3333), … Также на периодическую дробь 0,73333… можно посмотреть и так: 0,733(3), или так 0,73(333) и т.п. Здесь, чтобы избежать многозначности и разночтений, условимся рассматривать в качестве периода десятичной дроби самую короткую из всех возможных последовательностей повторяющихся цифр, и начинающуюся с самой близкой позиции к десятичной запятой. То есть, периодом десятичной дроби 0,73333… будем считать последовательность из одной цифры 3, и периодичность начинается со второй позиции после запятой, то есть, 0,73333…=0,7(3). Еще пример: периодическая дробь 4,7412121212… имеет период 12, периодичность начинается с третьей цифры после запятой, то есть, 4,7412121212…=4,74(12).

Бесконечные десятичные периодические дроби получаются при переводе в десятичные дроби обыкновенных дробей, знаменатели которых содержат простые множители, отличные от 2 и 5.

Заметим, что любую конечную десятичную дробь, как и любое целое число, можно записать в виде периодической дроби – для этого нужно лишь справа добавить бесконечное количество цифр 0. Например, конечную десятичную дробь 10,35 можно записать в виде периодической дроби как 10,35(0), а целое число 53 в виде бесконечной периодической десятичной дроби имеет вид 53,(0). Мы можем так поступать, так как дописывание в дробной части десятичной дроби справа любого количества нулей дает равную ей дробь (смотрите равные и неравные десятичные дроби).

Здесь же стоит сказать о периодических дробях с периодом 9. Приведем примеры таких дробей: 6,43(9), 27,(9). Эти дроби являются другой записью периодических дробей с периодом 0, и их принято заменять периодическими дробями с периодом 0. Для этого период 9 заменяют периодом 0, а значение следующего по старшинству разряда увеличивают на единицу. Например, дробь с периодом 9 вида 7,24(9) заменяется периодической дробью с периодом 0 вида 7,25(0) или равной ей конечной десятичной дробью 7,25. Еще пример: 4,(9)=5,(0)=5. Равенство дроби с периодом 9 и соответствующей ей дроби с периодом 0 легко устанавливается, после замены этих десятичных дробей равными им обыкновенными дробями.

Бесконечные десятичные периодические дроби представляют рациональные числа. Иными словами, любую периодическую дробь можно перевести в обыкновенную дробь, а любую обыкновенную дробь можно представить в виде периодической дроби (смотрите перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь и обратно).

Наконец, повнимательнее рассмотрим бесконечные десятичные дроби, в записи которых отсутствует бесконечно повторяющаяся последовательность цифр. Их называют непериодическими.

Иногда непериодические дроби имеют вид, схожий с видом периодических дробей, например, 8,02002000200002… - непериодическая дробь. В этих случаях следует быть особо внимательными, чтобы заметить разницу.

Отметим, что непериодические дроби не переводятся в обыкновенные дроби, бесконечные непериодические десятичные дроби представляют иррациональные числа.

Действия с десятичными дробями

Одним из действий с десятичными дробями является сравнение, также определены четыре основных арифметических действия с десятичными дробями: сложение, вычитание, умножение и деление. Рассмотрим отдельно каждое из действий с десятичными дробями.

Сравнение десятичных дробей по сути базируется на сравнении обыкновенных дробей, отвечающих сравниваемым десятичным дробям. Однако перевод десятичных дробей в обыкновенные является достаточно трудоемким действием, да и бесконечные непериодические дроби не могут быть представлены в виде обыкновенной дроби, поэтому удобно использовать поразрядное сравнение десятичных дробей. Поразрядное сравнение десятичных дробей аналогично сравнению натуральных чисел. Для получения более детальной информации рекомендуем изучить материал статьи сравнение десятичных дробей, правила, примеры, решения.

Рассмотрим следующее действие с десятичными дробями – сложение десятичных дробей. Наиболее удобно сложение конечных десятичных дробей по правилу, аналогичному сложению столбиком натуральных чисел. Для сложения периодических десятичных дробей приходится их заменять обыкновенными дробями, после чего выполнять сложение обыкновенных дробей. Что касается сложения бесконечных непериодических десятичных дробей, то складываемые дроби обычно предварительно округляют (смотрите округление чисел), придерживаясь требуемой точности, после чего проводят сложение полученных после округления конечных десятичных дробей. Аналогично выполняют и другие действия с бесконечными непериодическими дробями. Далее смотрите статью сложение десятичных дробей, правила, примеры, решения.

Вычитание десятичных дробей представляет собой действие, обратное сложению. То есть, вычитание десятичных дробей – это нахождение числа, которое в сумме с вычитаемой десятичной дробью даст уменьшаемую десятичную дробь. Для дальнейшего изучения этого действия с десятичными дробями подходит статья вычитание десятичных дробей, правила, примеры, решения.

Переходим к следующему действию - умножению десятичных дробей. Умножение конечных десятичных дробей проводится аналогично вычитание десятичных дробей, правила, примеры, решенияумножению столбиком натуральных чисел. В случае периодических дробей умножение можно свести к умножению обыкновенных дробей. В свою очередь умножение бесконечных непериодических десятичных дробей после их округления сводится к умножению конечных десятичных дробей. Рекомендуем к дальнейшему изучению материал статьи умножение десятичных дробей, правила, примеры, решения.

Деление десятичных дробей представляет собой действие, обратное умножению. На практике, деление десятичных дробей сводится к делению десятичной дроби на натуральное число в столбик, которое аналогично делению в столбик натуральных чисел. Дальнейшая информация по теме собрана в статье деление десятичных дробей, правила, примеры, решения.

Десятичные дроби на координатном луче

Между точками координатного луча и десятичными дробями существует взаимно однозначное соответствие.

Разберемся, как строятся точки на координатном луче, соответствующие данной десятичной дроби.

Конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби мы можем заменить равными им обыкновенными дробями, после чего построить соответствующие обыкновенные дроби на координатном луче. Например, десятичной дроби 1,4 отвечает обыкновенная дробь 14/10, поэтому точка с координатой 1,4 удалена от начала отсчета в положительном направлении на 14 отрезков, равных десятой доле единичного отрезка.

Десятичные дроби можно отмечать на координатном луче, отталкиваясь от разложения данной десятичной дроби по разрядам. Например, пусть нам нужно построить точку с координатой 16,3007, так как 16,3007=16+0,3+0,0007, то в данную точку можно попасть, последовательно откладывая от начала координат 16 единичных отрезков, 3 отрезка, длина которых равна десятой доле единичного, и 7 отрезков, длина которого равна десятитысячной доле единичного отрезка.

Такой способ построения десятичных чисел на координатном луче позволяет сколь угодно близко приблизиться к точке, отвечающей бесконечной десятичной дроби.

Иногда возможно точно построить точку, соответствующую бесконечной десятичной дроби. Например, , тогда этой бесконечной десятичной дроби 1,41421… соответствует точка координатного луча, удаленная от начала координат на длину диагонали квадрата со стороной 1 единичный отрезок.

Обратный процесс получения десятичной дроби, соответствующей данной точке на координатном луче, представляет собой так называемое десятичное измерение отрезка. Разберемся, как оно проводится.

Пусть наша задача заключается в том, чтобы попасть из начала отсчета в данную точку координатной прямой (или бесконечно приблизиться к ней, если попасть в нее не получается). При десятичном измерении отрезка мы можем последовательно откладывать от начала отсчета любое количество единичных отрезков, далее отрезков, длина которых равна десятой доле единичного, затем отрезков, длина которых равна сотой доле единичного, и т.д. Записывая количество отложенных отрезков каждой длины, мы получим десятичную дробь, соответствующую данной точке на координатном луче.

К примеру, чтобы попасть в точку М на приведенном выше рисунке, нужно отложить 1 единичный отрезок и 4 отрезка, длина которых равна десятой доле единичного. Таким образом, точке М соответствует десятичная дробь 1,4.

Понятно, что точкам координатного луча, в которые невозможно попасть в процессе десятичного измерения, соответствуют бесконечные десятичные дроби.