Сложение обыкновенных дробей: правила, примеры, решения.
Одним из действий с обыкновенными дробями является сложение. В этой статье мы разберемся, как осуществляется сложение обыкновенных дробей. Сначала рассмотрим сложение дробей с одинаковыми знаменателями, после этого изучим сложение дробей с разными знаменателями и подробно разберем решения примеров. Дальше остановимся на сложении обыкновенной дроби и натурального числа. Наконец, поговорим о сложении трех, четырех и большего количества обыкновенных дробей.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Сначала разберем сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Получить правило сложения дробей нам поможет следующий пример.
Пусть на тарелку положили три восьмых доли яблока и после этого еще две восьмых доли такого же яблока. Эти действия можно описать так: 3/8+2/8. В результате на тарелке оказалось 3+2=5 восьмых долей яблока, то есть, 5/8. Таким образом, сложение обыкновенных дробей 3/8 и 2/8 дает обыкновенную дробь 5/8.
Из рассмотренного примера можно сделать вывод, что сложение дробей с одинаковыми знаменателями дает дробь, числитель которой равен сумме числителей складываемых дробей, а знаменатель равен знаменателям исходных дробей.
Итак, мы получили правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями: при сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складываются, а знаменатель остается прежним.
Запишем это правило сложения дробей с помощью букв. Пусть нам нужно выполнить сложение обыкновенной дроби a/b и обыкновенной дроби c/b. Тогда, согласно правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями, справедливо равенство 
.
Осталось рассмотреть примеры сложения дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример.
Сложите обыкновенные дроби 5/23 и 7/23.
Решение.
Знаменатели складываемых дробей равны, поэтому в результате сложения будет дробь с таким же знаменателем 23, а ее числитель будет равен сумме числителей складываемых дробей, то есть, 5+7=12. Итак, сложение дробей 5/23 и 7/23 приводит нас к дроби 12/23.
Кратко решение записывается так: 
.
Ответ:
.
Если сложение дробей дает сократимую дробь (смотрите сократимые и несократимые дроби), то нужно провести сокращение дроби. Если при этом полученная дробь неправильная (смотрите правильные и неправильные дроби), то нужно выделить из нее целую часть.
Пример.
Вычислите сумму обыкновенных дробей 5/28 и 3/28.
Решение.
Применив правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями, получаем 
.
Очевидно, полученная дробь сократима, так как числитель и знаменатель делятся на 2 (при необходимости смотрите признак делимости на 2). Выполним сокращение дроби: 
.
Таким образом, сложение дробей 5/28 и 3/28 дает 2/7.
Приведем краткую запись всего решения: 
.
Ответ:
2/7.
Пример.
Выполните сложение обыкновенных дробей 15/62 и 140/62.
Решение.
Проведем сложение дробей с одинаковыми знаменателями: 
.
Проверим, можно ли сократить полученную дробь. Для этого вычислим наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя, удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида: 155=62·2+31, 62=31·2, следовательно, НОД(155, 62)=31. Таким образом, дробь 144/62 можно сократить на 31, имеем 
.
Очевидно, дробь 5/2 неправильная. Выполнив выделение целой части из неправильной дроби 5/2, получаем 
.
Итак, весь процесс сложения дробей с одинаковыми знаменателями 15/62 и 140/62 можно кратко записать так: .
Ответ:
.
Сложение дробей с разными знаменателями
Сложение дробей с разными знаменателями можно свести к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого достаточно складываемые дроби привести к общему знаменателю.
Исходя из этих соображений, получаем правило сложения дробей с разными знаменателями, которое содержит два шага:
- во-первых, складываемые дроби приводятся к общему знаменателю (обычно, к наименьшему общему знаменателю);
- во-вторых, выполняется сложение полученных дробей с одинаковыми знаменателями.
Рассмотрим решения примеров, в которых выполняется сложение двух дробей с разными знаменателями.
Пример.
Сложите обыкновенные дроби 5/8 и 1/12.
Решение.
Знаменатели складываемых дробей разные, поэтому, сначала нужно выполнить приведение дробей к наименьшему общему знаменателю. Для этого находим НОК(8, 12)=24, находим соответствующие дополнительные множители 24:8=3 и 24:12=2 дробей 5/8 и 1/12, в результате получаем 
и 
.
Теперь складываем дроби 15/24 и 2/24, имеем 
.
Таким образом, сложение дробей с разными знаменателями 5/8 и 1/12 дает дробь 7/24.
Запишем все решение кратко: 
.
Ответ:
.
Заметим, если при сложении дробей получается сократимая дробь и (или) неправильная дробь, то нужно провести сокращение дроби и при возможности выделить целую часть.
Пример.
Выполните сложение дробей с разными знаменателями 12/5 и 2/3.
Решение.
Для сложения дробей с разными знаменателями, сначала приведем их к наименьшему общему знаменателю: 
.
Теперь сложим дроби 36/15 и 10/15, получаем 
.
Проверим, не является ли полученная дробь сократимой. Для этого вычислим наибольший общий делитель числителя и знаменателя, воспользовавшись алгоритмом Евклида: 46=15·3+1, 15=1·15, следовательно, НОД(46, 15)=1. Таким образом, дробь 46/15 несократима.
Но дробь 46/15 очевидно неправильная, поэтому из нее нужно выделить целую часть. Так как 46:15=3 (ост. 1), то 
.
На этом сложение дробей с разными знаменателями завершено. Вот краткое решение: 
.
Ответ:
.
Сложение обыкновенной дроби и натурального числа
Сложение натурального числа с правильной обыкновенной дробью не представляет интереса, так как такая сумма по определению есть смешанное число. Например, 
.
Сложение натурального числа с неправильной обыкновенной дробью можно проводить через сложение двух дробей, если натуральное число заменить дробью (смотрите натуральное число как дробь со знаменателем 1). К примеру, .
Однако, сложение натурального числа и неправильной дроби целесообразнее проводить, выделив из дроби целую часть. В результате сложение натурального числа и дроби сводится к сложению натурального числа и смешанного числа. Для примера вычислим сумму из предыдущего примера таким способом: 
. Рассмотренный подход требует меньше вычислительной работы по сравнению с предыдущим способом, что особенно заметно, когда числа велики.
Сложение трех и большего количества обыкновенных дробей
Разберем, как сложить три, четыре и большее количество обыкновенных дробей.
Сложение обыкновенных дробей обладает переместительным и сочетательным свойствами. Это следует из определения обыкновенных дробей, а также из того, как мы определили сложение обыкновенных дробей. Таким образом, сложение трех, четырех и т.д. дробей можно проводить аналогично сложению трех большего количества натуральных чисел.
Пример.
Сложите четыре обыкновенные дроби 5/12, 13/12, 1/12 и 1/12.
Решение.
Нам нужно вычислить сумму 
. Последовательно заменяя две соседние дроби их суммой, получим . Осталось лишь сократить полученную дробь, после чего выделить целую часть: 
.
Ответ:
.
Аналогично проводится сложение нескольких натуральных чисел и нескольких обыкновенных дробей.
Пример.
Вычислите сумму 
.
Решение.
Свойства сложения позволяют провести следующую группировку слагаемых: . Сумма трех натуральных чисел в скобках равна 14, а сумма 
равна дроби 11/12. Таким образом, .
Ответ:
.
Стоит отметить, что и правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями, и правило сложения дробей с разными знаменателями остаются справедливыми для трех и большего количества складываемых дробей.
Рассмотрим решение одного из предыдущих примеров в этом свете.
Пример.
Сложите четыре обыкновенные дроби 5/12, 13/12, 1/12 и 1/12.
Решение.
Обратившись к правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями, получаем . Осталось лишь сократить полученную дробь, после чего выделить целую часть: .
Ответ:
.
Пример.
Сложите три дроби с разными знаменателями 1/2, 3/8 и 7/12.
Решение.
Сначала выполним приведение трех дробей к наименьшему общему знаменателю (смотрите приведение к общему знаменателю трех и большего количества дробей), получаем .
Осталось лишь закончить сложение: .
Ответ:
.
Список литературы.
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.