Математика на cleverstudents.ru

Числа, действия с числами

Взаимно обратные числа, нахождение числа, обратного данному числу.

Сейчас мы тщательно изучим взаимно обратные числа. Сначала дадим определение и приведем примеры взаимно обратных чисел. Дальше на примерах разберем, как находится число, обратное данному числу. В частности, найдем число, обратное обыкновенной дроби, число, обратное натуральному числу, и т.п. В заключение приведем и докажем неравенство, характерное для суммы взаимно обратных чисел.

Взаимно обратные числа, определение, примеры

Сразу дадим определение взаимно обратных чисел.

Если числа a и b взаимно обратные, то можно сказать, что число a – это число, обратное числу b, а число b – это число, обратное числу a. Также можно говорить, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a.

Приведем примеры взаимно обратных чисел. Так как произведение 1·1 равно 1, то по определению числа 1 и 1 – взаимно обратные. Взаимно обратными числами также являются следующие пары чисел: 2 и 1/2, −5/7 и −7/5, и , и , и , и . Действительно, произведение любой пары чисел из указанных выше равно единице. А числа 5/9 и 3, или числа 1,1 и 5 не являются взаимно обратными, так как их произведение отлично от 1.

Из рассмотренных примеров взаимно обратных чисел понятно, что определение взаимно обратных чисел относится к любым числам – и к натуральным, и к целым и к действительным, и даже к комплексным.

Нахождение числа, обратного данному числу

Особый интерес представляет нахождение числа, обратного данному числу. В общем случае число, обратное отличному от нуля числу a, записывается в виде дробного выражения 1/a или как a^-1, так как и a·a^-1=1. Однако в некоторых случаях 1/a подлежит сокращению.

Иногда число, обратное данному числу, очевидно, как, например, для натуральных чисел или обыкновенных дробей. В других случаях приходится проводить вычисления, как, например, при отыскании числа, обратного иррациональному числу, или обратного комплексному числу.

Остановимся на наиболее часто встречающихся случаях нахождения числа, обратного данному числу.

Число, обратное обыкновенной дроби

Числом, обратным обыкновенной дроби a/b, является дробь b/a. Действительно, выполнив умножение обыкновенных дробей a/b и b/a, мы получим 1, следовательно, дроби a/b и b/a – взаимно обратные числа.

Итак, если числитель и знаменатель дроби a/b поменять местами, то получится дробь b/a, обратная дроби a/b.

Это правило позволяет нам сразу записывать число, обратное данной обыкновенной дроби. К примеру, обратным числом дроби 3/5 является дробь 5/3, а число, обратное обыкновенной дроби 117/28, есть дробь 28/117.

Число, обратное натуральному числу

Нахождение числа, обратного данному натуральному числу, можно свести к нахождению числа, обратного дроби. Для этого нужно лишь записать данное натуральное число как дробь со знаменателем 1.

Пусть нам дано натуральное число n, и нужно записать число, обратное числу n. Так как натуральное число n равно дроби n/1, то, поменяв местами числитель и знаменатель этой дроби, получим дробь 1/n, которая и является числом, обратным натуральному числу n.

Итак, натуральному числу n обратным числом является число 1/n, то есть, дробь с числителем 1 и знаменателем n. Иными словами, n и 1/n – взаимно обратные числа.

Например, натуральному числу 2 обратным числом является дробь 1/2, число 1/3 – обратное натуральному числу 3, …

Отдельно стоит сказать о числе, обратном натуральному числу 1. Число, обратное 1, это 1. Пара взаимно обратных чисел 1 и 1 уникальна тем, что составляющие ее числа равны, других таких пар взаимно обратных чисел не существует.

Нахождение числа, обратного смешанному числу

Чтобы найти число, обратное данному смешанному числу, можно представить данное смешанное число в виде неправильной дроби, после чего найти число, обратное этой дроби. Рассмотрим применение этого правила на примере.

Нахождение числа, обратного десятичной дроби

Мы знаем, что конечная десятичная дробь или периодическая десятичная дробь может быть заменена обыкновенной дробью. Поэтому, нахождение числа, обратного конечной или периодической десятичной дроби, может быть сведено к нахождению числа, обратного обыкновенной дроби. Рассмотрим примеры.

Число, обратное бесконечной непериодической десятичной дроби обычно записывают в виде дробного выражения с числителем 1 и знаменателем, равным данной десятичной дроби. Например, бесконечной десятичной дроби 1,360293264… обратно число . При необходимости вычисляется приближенное значение этого числа с нужной точностью.

Так как бесконечным непериодическим десятичным дробям отвечают иррациональные числа, то числа, обратные им, также записывают в виде дробных выражений. Например, иррациональному числу обратно число , а иррациональному числу обратно число .

Взаимно обратные числа с корнями

Иногда по записям чисел довольно трудно сказать, являются ли они взаимно обратными или нет. То есть, вид взаимно обратных чисел может быть отличен от a и 1/a. Это утверждение особенно относится к числам, записи которых содержат знак корня.

Почему же вид взаимно обратных чисел с корнями бывает отличен от a и 1/a? Это связано с тем, что принято по возможности избавляться от корней в знаменателе.

Взаимно обратные числа со степенями

Числом, обратным степени числа a с показателем b, является степень числа a с показателем −b. То есть, a^b и a^-b – взаимно обратные числа. Действительно, .

Взаимно обратные числа с логарифмами

Логарифму числа a по основанию b обратно число, равное логарифму числа b по основанию a. То есть log_ba и log_ab – взаимно обратные числа. Действительно, из свойств логарифма следует, что , откуда .

Нахождение числа, обратного комплексному числу

Рассмотрим, как находится число, обратное комплексному числу z.

Если комплексное число задано в алгебраической форме, то есть, в виде , то обратное ему число есть . Последнее выражение можно упростить, умножив числитель и знаменатель на число .

Когда комплексное число задано в тригонометрической форме как или в показательной форме как , то обратное ему число имеет вид или соответственно. Действительно, и .

Неравенство с суммой взаимно обратных чисел

Сумма взаимно обратных чисел обладает примечательным свойством. Сформулируем его в виде теоремы.

Для примера вычислим сумму взаимно обратных чисел 2/3 и 3/2, имеем (смотрите сложение обыкновенных дробей). Очевидно, полученное число больше 2 (при необходимости смотрите сравнение смешанного числа и натурального числа).