Математика на cleverstudents.ru

Числа, действия с числами

Противоположные числа: определение, обозначение, примеры.

В этой статье мы изучим противоположные числа. Здесь мы ответим на вопрос, какие числа называют противоположными, покажем, как обозначают число, противоположное данному числу, и приведем примеры. Также мы перечислим основные результаты, характерные для противоположных чисел.

Определение противоположных чисел

Получить представление о противоположных числах нам поможет координатная прямая.

Отметим на координатной прямой какую-нибудь точку М, отличную от начала отсчета. Попасть в точку М мы можем, последовательно откладывая от начала отсчета в направлении точки М единичный отрезок, а также его десятую, сотую и так далее доли. Если же мы отложим такое же количество единичных отрезков и его долей в противоположном направлении, то мы попадем в другую точку, обозначим ее буквой N. Приведем пример, иллюстрирующий наши действия (смотрите рисунок ниже). Чтобы попасть в точку М на координатной прямой мы отложили в отрицательном направлении два единичных отрезка и 4 отрезка, составляющих десятую долю единичного. Теперь отложим два единичных отрезка и 4 отрезка, составляющих десятую долю единичного, в положительном направлении. Так мы получим точку N.

Мы уже почти готовы к восприятию определения противоположных чисел, осталось лишь обговорить пару нюансов.

Мы знаем, что каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число, следовательно, и точке М и точке N соответствуют некоторые действительные числа. Так вот числа, соответствующие точкам М и N, и называются противоположными.

Отдельно надо сказать о точке O – начале отсчета. Точке O соответствует число 0. Число нуль принято считать противоположным самому себе.

Теперь мы можем озвучить определение противоположных чисел.

Обозначение противоположных чисел и примеры

Пришло время ввести обозначения противоположных чисел.

Для обозначения числа, противоположного данному числу, используют знак минус, который записывают перед данным числом. То есть число, противоположное числу a, записывается как −a. Например, числу 0,24 противоположно число −0,24, а числу −25 противоположно число −(−25).

Приведем примеры противоположных чисел. Пара чисел 17 и −17 (или −17 и 17) является примером противоположных целых чисел. Числа и - это противоположные рациональные числа. Другими примерами противоположных рациональных чисел являются пары чисел 5,126 и −5,126. а также 0,(1201) и −0,(1201). Осталось привести несколько примеров противоположных иррациональных чисел. Значения числовых выражений вида и - являются противоположными иррациональными числами. Другой пример: и - противоположные иррациональные числа.

Результаты, характерные для противоположных чисел

Противоположные числам присущи некоторые характерные результаты. Перечислим их и дадим необходимые комментарии.

• Начнем с утверждения, которое напрямую следует из определения противоположных чисел. Его формулировка такова: число, противоположное положительному числу, отрицательно, а число, противоположное отрицательному числу, положительно (при необходимости посмотрите материал статьи положительные и отрицательные числа). Это и понятно, так как точки координатной прямой, соответствующие противоположным числам, находятся по разные стороны от начала отсчета.

  Из озвученного утверждения выделим один очень важный результат, который с помощью букв записывается так: −(−a)=a, где a – любое положительное число. Поясним этот момент на примере. По координатной прямой видно, что числу 7 противоположно число −7, а числу −7 противоположно число 7. Но принятые нами обозначения противоположных чисел вынуждают нас записать число, противоположное −7, как −(−7). Следовательно, −(−7)=7, и вообще −(−a)=a. Отсюда можно заключить, что записи противоположных чисел отличаются лишь знаком минус.

• Переходим к следующему результату - свойству симметричности, которое также вытекает из определения противоположных чисел: если число a противоположно числу b, то b противоположно a. Здесь комментарии излишни.

• Озвучим следующее утверждение: для каждого действительного числа есть единственное противоположное число. Оно базируется на том, что данной точке координатной прямой соответствует единственное действительное число.

• Из определения модуля числа вытекает, что модули противоположных чисел равны. Действительно, точки координатной прямой, соответствующие противоположным числам, находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета.

• Наконец, сумма противоположных чисел равна нулю. Запишем последнее изречение в буквенном виде: a+(−a)=0. Приведем несколько примеров. Сумма противоположных чисел 109 и −109 равна 0, сумма −54,43+54,43 равна нулю, результатом сложения противоположных чисел и также является нуль.