Вычитание десятичных дробей, правила, примеры, решения.
Продолжаем знакомиться с действиями над десятичными дробями. В этой статье внимание сосредоточим на вычитании десятичных дробей. Здесь мы рассмотрим правила вычитания конечных десятичных дробей, остановимся на вычитании десятичных дробей столбиком, а также рассмотрим, как проводится вычитание бесконечных периодических и непериодических десятичных дробей. Наконец, поговорим о вычитании десятичных дробей из натуральных чисел, обыкновенных дробей и смешанных чисел, и о вычитании натуральных чисел, обыкновенных дробей и смешанных чисел из десятичных дробей.
Сразу скажем, что здесь мы будем рассматривать лишь вычитание меньшей десятичной дроби из большей десятичной дроби, другие случаи разберем в статьях вычитание рациональных чисел и вычитание действительных чисел.
Общие принципы вычитания десятичных дробей
По своей сути вычитание конечных десятичных дробей и бесконечных периодических десятичных дробей представляет вычитание соответствующих обыкновенных дробей. Действительно, указанные десятичные дроби являются десятичной записью обыкновенных дробей, о чем сказано в статье перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби и обратно.
Рассмотрим примеры вычитания десятичных дробей, отталкиваясь от озвученного принципа.
Пример.
Выполните вычитание из десятичной дроби 3,7 десятичной дроби 0,31.
Решение.
Так как 3,7=37/10 и 0,31=31/100, то . Так вычитание десятичных дробей свелось к вычитанию обыкновенных дробей с разными знаменателями: . Полученную дробь представим в виде десятичной дроби: 339/100=3,39.
Ответ:
3,7−0,31=3,39.
Заметим, что вычитание конечных десятичных дробей удобно проводить столбиком, об этом методе мы поговорим в следующем пункте данной статьи.
Сейчас разберем пример вычитания периодических десятичных дробей.
Пример.
Отнимите от периодической десятичной дроби 0,(4) периодическую десятичную дробь 0,41(6).
Решение.
Осуществим перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби:
Таким образом, .
При необходимости можно полученную обыкновенную дробь перевести в десятичную дробь:
Ответ:
0,(4)−0,41(6)=0,02(7).
Осталось озвучить принцип вычитания бесконечных непериодических дробей.
Вычитание бесконечных непериодических дробей сводится к вычитанию конечных десятичных дробей. Для этого вычитаемые бесконечные десятичные дроби округляют до некоторого разряда, обычно, до самого младшего из возможных (смотрите округление чисел).
Пример.
Проведите вычитание конечной десятичной дроби 0,52 из бесконечной непериодической десятичной дроби 2,77369….
Решение.
Округлим бесконечную непериодическую десятичную дробь до 4 знака после запятой, имеем 2,77369…≈2,7737. Таким образом, 2,77369…−0,52≈2,7737−0,52. Вычислив разность конечных десятичных дробей, получаем 2,2537.
Ответ:
2,77369…−0,52≈2,2537.
Вычитание десятичных дробей столбиком
Очень удобным способом вычитания конечных десятичных дробей является вычитание столбиком. Вычитание десятичных дробей столбиком очень схоже с вычитанием столбиком натуральных чисел.
Чтобы выполнить вычитание десятичных дробей столбиком, нужно:
- уравнять количество десятичных знаков в записях десятичных дробей (если оно, конечно, отличается), дописав справа некоторое количество нулей к одной из дробей;
- вычитаемое записать под уменьшаемым так, чтобы цифры соответствующих разрядов находились друг под другом, и запятая находилась под запятой;
- выполнить вычитание столбиком, не обращая внимания на запятые;
- в полученной разности поставить запятую так, чтобы она располагалась под запятыми уменьшаемого и вычитаемого.
Рассмотрим пример вычитания десятичных дробей столбиком.
Пример.
Выполните вычитание десятичной дроби 10,30501 из десятичной дроби 4 452,294.
Решение.
Очевидно, количество десятичных знаков дробей различно. Уравняем его, дописав два нуля справа в записи дроби 4 452,294, при этом получится равная ей десятичная дробь 4 452,29400.
Теперь запишем вычитаемое под уменьшаемым, как это предполагает метод вычитания десятичных дробей столбиком:
Проводим вычитание, не обращая внимания на запятые:
Осталось лишь поставить десятичную запятую в полученной разности:
На этом этапе запись приняла законченный вид, и вычитание десятичных дробей столбиком закончено. Получился следующий результат 4 452,294−10,30501=4 441,98899.
Ответ:
4 452,294−10,30501=4 441,98899.
Вычитание десятичной дроби из натурального числа и наоборот
Вычитание конечной десятичной дроби из натурального числа удобнее всего выполнить столбиком, записав уменьшаемое натуральное число в виде десятичной дроби с нулями в дробной части. Разберемся с этим при решении примера.
Пример.
Отнимите от натурального числа 15 десятичную дробь 7,32.
Решение.
Представим натуральное число 15 в виде десятичной дроби, дописав после десятичной запятой две цифры 0 (так как вычитаемая десятичная дробь имеет две цифры в дробной части), имеем 15,00.
Теперь выполним вычитание десятичных дробей столбиком:
В итоге получаем 15−7,32=7,68.
Ответ:
15−7,32=7,68.
Вычитание бесконечной периодической десятичной дроби из натурального числа можно свести к вычитанию обыкновенной дроби из натурального числа. Для этого периодическую десятичную дробь достаточно заменить соответствующей обыкновенной дробью.
Пример.
Проведите вычитание из натурального числа 1 периодической десятичной дроби 0,(6).
Решение.
Периодической десятичной дроби 0,(6) отвечает обыкновенная дробь 2/3. Таким образом, 1−0,(6)=1−2/3=1/3. Полученную обыкновенную дробь можно записать в виде десятичной дроби 0,(3).
Ответ:
1−0,(6)=0,(3).
Вычитание бесконечной непериодической десятичной дроби из натурального числа сводится к вычитанию конечной десятичной дроби. Для этого бесконечную непериодическую десятичную дробь нужно округлить до некоторого разряда.
Пример.
Отнимите от натурального числа 5 бесконечную непериодическую десятичную дробь 4,274….
Решение.
Сначала округлим бесконечную десятичную дробь, мы можем провести округление до сотых, имеем 4,274…≈4,27. Тогда 5−4,274…≈5−4,27.
Представим натуральное число 5 как 5,00, и выполним вычитание десятичных дробей столбиком:
Ответ:
5−4,274…≈0,73.
Осталось озвучить правило вычитания натурального числа из десятичной дроби: чтобы вычесть натуральное число из десятичной дроби, надо это натуральное число вычесть из целой части уменьшаемой десятичной дроби, а дробную часть оставить без изменения. Это правило относится как к конечным десятичным дробям, так и к бесконечным. Рассмотрим решение примера.
Пример.
Выполните вычитание натурального числа 17 из десятичной дроби 37,505.
Решение.
Целая часть десятичной дроби 37,505 равна 37. Вычтем из нее натуральное число 17, имеем 37−17=20. Тогда 37,505−17=20,505.
Ответ:
37,505−17=20,505.
Вычитание десятичной дроби из обыкновенной дроби или смешанного числа и наоборот
Вычитание конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби из обыкновенной дроби можно свести к вычитанию обыкновенных дробей. Для этого вычитаемую десятичную дробь достаточно перевести в обыкновенную дробь.
Пример.
Отнимите десятичную дробь 0,25 от обыкновенной дроби 4/5.
Решение.
Так как 0,25=25/100=1/4, то разность обыкновенной дроби 4/5 и десятичной дроби 0,25 равна разности обыкновенных дробей 4/5 и 1/4. Итак, 4/5−0,25=4/5−1/4=16/20−5/20=11/20. В десятичной записи полученная обыкновенная дробь имеет вид 0,55.
Ответ:
4/5−0,25=11/20=0,55.
Аналогично вычитание конечной десятичной дроби или периодической десятичной дроби из смешанного числа сводится к вычитанию обыкновенной дроби из смешанного числа.
Пример.
Выполните вычитание десятичной дроби 0,(18) из смешанного числа .
Решение.
Для начала переведем периодическую десятичную дробь 0,(18) в обыкновенную дробь: . Таким образом, . Полученное смешанное число в десятичной записи имеет вид 8,(18).
Ответ:
.
Точно также проводится вычитание обыкновенной дроби или смешанного числа из конечной десятичной дроби или периодической десятичной дроби.
Пример.
Вычислите разность обыкновенной дроби 9/40 и десятичной дроби 0,03.
Решение.
Заменим десятичную дробь 0,03 обыкновенной дробью 3/100, при этом имеем 9/40−0,03=9/40−3/100=
Ответ:
9/40−0,03=39/200=0,195.
Что касается вычитания бесконечной непериодической десятичной дроби из обыкновенной дроби или смешанного числа, а также вычитания обыкновенной дроби или смешанного числа из бесконечной непериодической дроби, то оно сводится к вычитанию конечных десятичных дробей. Для этого нужно обыкновенную дробь или смешанное число записать в виде десятичной дроби, после чего провести округление вычитаемых десятичных дробей до некоторого разряда.
Чтобы все стало понятно, рассмотрим решение примера.
Пример.
Отнимите от смешанного числа бесконечную непериодическую десятичную дробь 4,38475603….
Решение.
Переведем смешанное число в неправильную дробь: , а выполнив перевод этой обыкновенной дроби в десятичную дробь, имеем 10,(285714). Таким образом, .
Теперь нужно выполнить округление вычитаемых чисел, его мы можем провести до седьмого десятичного знака. Имеем 10,(285714)=10,285714285714…≈
Осталось выполнить вычитание конечных десятичных дробей, сделаем это столбиком:
Ответ:
.
Список литературы.
- Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
- Математика. 6 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.