Математика на cleverstudents.ru

Числа, действия с числами

Рациональные числа, определение, примеры.

В этой статье мы начнем изучать рациональные числа. Здесь мы дадим определения рациональных чисел, дадим необходимые пояснения и приведем примеры рациональных чисел. После этого остановимся на том, как определить, является ли данное число рациональным или нет.

Определение и примеры рациональных чисел

В этом пункте мы дадим несколько определений рациональных чисел. Несмотря на различия в формулировках, все эти определения имеют единый смысл: рациональные числа объединяют целые числа и дробные числа, подобно тому, как целые числа объединяют натуральные числа, противоположные им числа и число нуль. Иными словами, рациональные числа обобщают целые и дробные числа.

Начнем с определения рациональных чисел, которое воспринимается наиболее естественно.

Из озвученного определения следует, что рациональным числом является:

• Любое натуральное число n. Действительно, можно представить любое натуральное число в виде обыкновенной дроби, например, 3=3/1.
• Любое целое число, в частности, число нуль. В самом деле, любое целое число можно записать в виде либо положительной обыкновенной дроби, либо в виде отрицательной обыкновенной дроби, либо как нуль. Например, 26=26/1, .
• Любая обыкновенная дробь (положительная или отрицательная). Это напрямую утверждается приведенным определением рациональных чисел.
• Любое смешанное число. Действительно, всегда можно представить смешанное число в виде неправильной обыкновенной дроби. Например, и .
• Любая конечная десятичная дробь или бесконечная периодическая дробь. Это так в силу того, что указанные десятичные дроби переводятся в обыкновенные дроби. К примеру, , а 0,(3)=1/3.

Также понятно, что любая бесконечная непериодическая десятичная дробь НЕ является рациональным числом, так как она не может быть представлена в виде обыкновенной дроби.

Теперь мы можем с легкостью привести примеры рациональных чисел. Числа 4, 903, 100 321 – это рациональные числа, так как они натуральные. Целые числа 58, −72, 0, −833 333 333 тоже являются примерами рациональных чисел. Обыкновенные дроби 4/9, 99/3, - это тоже примеры рациональных чисел. Рациональными числами являются и числа .

Из приведенных примеров видно, что существуют и положительные и отрицательные рациональные числа, а рациональное число нуль не является ни положительным, ни отрицательным.

Озвученное выше определение рациональных чисел можно сформулировать более краткой форме.

Докажем, что данное определение рациональных чисел равносильно предыдущему определению. Мы знаем, что можно рассматривать черту дроби как знак деления, тогда из свойств деления целых чисел и правил деления целых чисел следует справедливость следующих равенств и . Таким образом, , что и является доказательством.

Приведем примеры рациональных чисел, основываясь на данном определении. Числа −5, 0, 3, и являются рациональными числами, так как они могут быть записаны в виде дробей с целым числителем и натуральным знаменателем вида и соответственно.

Определение рациональных чисел можно дать и в следующей формулировке.

Это определение также равносильно первому определению, так как всякой обыкновенной дроби соответствует конечная или периодическая десятичная дробь и обратно, а любому целому числу можно сопоставить десятичную дробь с нулями после запятой.

Например, числа 5, 0, −13, представляют собой примеры рациональных чисел, так как их можно записать в виде следующих десятичных дробей 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 и −7,(18).

Закончим теорию этого пункта следующими утверждениями:

• целые и дробные числа (положительные и отрицательные) составляют множество рациональных чисел;
• каждое рациональное число может быть представлено в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем, а каждая такая дробь представляет собой некоторое рациональное число;
• каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, а каждая такая дробь представляет собой некоторое рациональное число.

Является ли данное число рациональным?

В предыдущем пункте мы выяснили, что любое натуральное число, любое целое число, любая обыкновенная дробь, любое смешанное число, любая конечная десятичная дробь, а также любая периодическая десятичная дробь является рациональным числом. Это знание нам позволяет «узнавать» рациональные числа из множества написанных чисел.

Но как быть, если число задано в виде некоторого числового выражения, или как корень, степень, логарифм и т.п., как ответить на вопрос, является ли данное число рациональным? Во многих случаях ответить на него очень сложно. Укажем некоторые направления ходу мысли.

Если число задано в виде числового выражения, которое содержит лишь рациональные числа и знаки арифметических действий (+, −, · и :), то значение этого выражения представляет собой рациональное число. Это следует из того, как определены действия с рациональными числами. Например, выполнив все действия в выражении , мы получаем рациональное число 18.

Иногда, после упрощения выражений и более сложного вида, появляется возможность определить, рационально ли заданное число.

Пойдем дальше. Число 2 является рациональным числом, так как любое натуральное число является рациональным. А как насчет числа ? Является ли оно рациональным? Оказывается, что нет, - не является рациональным числом, это иррациональное число (доказательство этого факта методом от противного приведено в учебнике по алгебре за 8 класс, указанном ниже в списке литературы). Также доказано, что квадратный корень из натурального числа является рациональным числом только в тех случаях, когда под корнем находится число, являющееся полным квадратом некоторого натурального числа. Например, и - рациональные числа, так как 81=9² и 1 024=32², а числа и не являются рациональными, так как числа 7 и 199 не являются полными квадратами натуральных чисел.

А число рационально или нет? В данном случае несложно заметить, что , следовательно, данное число – рациональное. А является ли число рациональным? Доказано, что корень k-ой степени из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под знаком корня является k-ой степенью некоторого целого числа. Поэтому не является рациональным числом, так как не существует целого числа, пятая степень которого равна 121.

Метод от противного позволяет доказывать, что логарифмы некоторых чисел по некоторым основаниям не являются рациональными числами. Для примера докажем, что - не рациональное число.

Предположим противное, то есть, допустим, что - рациональное число и его можно записать в виде обыкновенной дроби m/n. Тогда свойства логарифма и свойства степени дают следующие равенства: . Последнее равенство невозможно, так как в левой его части находится нечетное число 5ⁿ, а в правой части – четное число 2^m. Следовательно, наше предположение неверно, таким образом, не является рациональным числом.

В заключение стоит особо отметить, что при выяснении рациональности или иррациональности чисел следует воздержаться от скоропостижных выводов.

Например, не стоит сразу утверждать, что произведение иррациональных чисел π и e является иррациональным числом, это «как бы очевидно», но не доказано. При этом возникает вопрос: «А с чего бы произведению быть рациональным числом»? А почему бы и нет, ведь можно привести пример иррациональных чисел, произведение которых дает рациональное число: .

Также неизвестно, являются ли числа и многие другие числа рациональными или не являются таковыми. Например, существуют иррациональные числа, иррациональная степень которых является рациональным числом. Для иллюстрации приведем степень вида , основание данной степени и показатель степени не являются рациональными числами, но , а 3 – рациональное число.