Умножение обыкновенных дробей: правила, примеры, решения.
Продолжим изучать действия с обыкновенными дробями . Сейчас в центре внимания умножение обыкновенных дробей. В этой статье мы дадим правило умножения обыкновенных дробей, рассмотрим применение этого правила при решении примеров. Также остановимся на умножении обыкновенной дроби на натуральное число. В заключение рассмотрим, как проводится умножение трех и большего количества дробей.
Умножение обыкновенной дроби на обыкновенную дробь
Начнем с формулировки правила умножения обыкновенных дробей: умножение дроби на дробь дает дробь, числитель которой равен произведению числителей умножаемых дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей.
То есть, умножению обыкновенных дробей a/b и c/d отвечает формула 
.
Приведем пример, иллюстрирующий правило умножения обыкновенных дробей. Рассмотрим квадрат со стороной 1 ед., при этом его площадь равна 1 ед2. Разделим этот квадрат на равные прямоугольники со сторонами 1/4 ед. и 1/8 ед., при этом исходный квадрат будет состоять из 4·8=32 прямоугольников, следовательно, площадь каждого прямоугольника составляет 1/32 долю площади исходного квадрата, то есть, она равна 1/32 ед2. Теперь закрасим часть исходного квадрата. Все наши действия отражает рисунок ниже.
Стороны закрашенного прямоугольника равны 5/8 ед. и 3/4 ед., значит, его площадь равна произведению дробей 5/8 и 3/4, то есть, 
ед2. Но закрашенный прямоугольник состоит из 15 «маленьких» прямоугольников, значит, его площадь равна 15/32 ед2. Следовательно, 
. Так как 5·3=15 и 8·4=32, то последнее равенство можно переписать как 
, что подтверждает формулу умножения обыкновенных дробей вида .
Заметим, что с помощью озвученного правила умножения можно умножать и правильные и неправильные дроби, и дроби с одинаковыми знаменателями, и дроби с разными знаменателями.
Рассмотрим примеры умножения обыкновенных дробей.
Пример.
Выполните умножение обыкновенной дроби 7/11 на обыкновенную дробь 9/8.
Решение.
Произведение числителей умножаемых дробей 7 и 9 равно 63, а произведение знаменателей 11 и 8 равно 88. Таким образом, умножение обыкновенных дробей 7/11 и 9/8 дает дробь 63/88.
Вот краткая запись решения: 
.
Ответ:
.
Не следует забывать про сокращение полученной дроби, если в результате умножения получается сократимая дробь, и про выделение целой части из неправильной дроби.
Пример.
Выполните умножение дробей 4/15 и 55/6.
Решение.
Применим правило умножения обыкновенных дробей: 
.
Очевидно, полученная дробь сократима (признак делимости на 10 позволяет утверждать, что числитель и знаменатель дроби 220/90 имеют общий множитель 10). Выполним сокращение дроби 220/90: НОД(220, 90)=10 и 
. Осталось выделить целую часть из полученной неправильной дроби: 
.
Ответ:
.
Заметим, что сокращение дроби можно проводить до вычисления произведений числителей и произведений знаменателей умножаемых дробей, то есть, когда дробь имеет вид 
. Для этого числа a, b, c и d заменяются их разложениями на простые множители, после чего сокращаются одинаковые множители числителя и знаменателя.
Для пояснения, вернемся к предыдущему примеру.
Пример.
Вычислите произведение дробей вида 
.
Решение.
По формуле умножения обыкновенных дробей имеем 
.
Так как 4=2·2, 55=5·11, 15=3·5 и 6=2·3, то 
. Теперь сокращаем общие простые множители: 
.
Остается лишь вычислить произведения в числителе и знаменателе, после чего выделить целую часть из неправильной дроби: 
.
Ответ:
.
Следует отметить, что для умножения дробей характерно переместительное свойство, то есть, умножаемые дроби можно менять местами: 
.
Умножение обыкновенной дроби на натуральное число
Начнем с формулировки правила умножения обыкновенной дроби на натуральное число: умножение дроби на натуральное число дает дробь, числитель которой равен произведению числителя умножаемой дроби на натуральное число, а знаменатель равен знаменателю умножаемой дроби.
С помощью букв правило умножения дроби a/b на натуральное число n имеет вид 
.
Формула следует из формулы умножения двух обыкновенных дробей вида . Действительно, представив натуральное число как дробь со знаменателем 1, получим 
.
Рассмотрим примеры умножения дроби на натуральное число.
Пример.
Выполните умножение дроби 2/27 на 5.
Решение.
Умножение числителя 2 на число 5 дает 10, поэтому в силу правила умножения дроби на натуральное число, произведение 2/27 на 5 равно дроби 10/27.
Все решение удобно записывать так: 
.
Ответ:
.
При умножении дроби на натуральное число полученную дробь часто приходится сокращать, а если она еще и неправильная, то представлять ее в виде смешанного числа.
Пример.
Умножьте дробь 5/12 на число 8.
Решение.
По формуле умножения дроби на натуральное число имеем 
. Очевидно, полученная дробь сократима (признак делимости на 2 указывает на общий делитель 2 числителя и знаменателя). Выполним сокращение дроби 40/12: так как НОК(40, 12)=4, то 
. Осталось выделить целую часть: 
.
Вот все решение: 
.
Отметим, что сокращение можно было провести, заменив числа в числителе и знаменателе их разложениями на простые множители. В этом случае решение выглядело бы так: .
Ответ:
.
В заключение этого пункта заметим, что умножение дроби на натуральное число обладает переместительным свойством, то есть, произведение дроби на натуральное число равно произведению этого натурального числа на дробь: 
.
Умножение трех и большего количества дробей
То, как мы определили обыкновенные дроби и действие умножение с ними, позволяет утверждать, что все свойства умножения натуральных чисел распространяются и на умножение дробей.
Переместительное и сочетательное свойства умножения позволяют однозначно определить умножение трех и большего количества дробей и натуральных чисел. При этом все происходит по аналогии с умножением трех и большего количества натуральных чисел. В частности, дроби и натуральные числа в произведении можно для удобства вычисления переставлять местами, а при отсутствии скобок, указывающих порядок выполнения действий, мы можем сами расставить скобки любым из допустимых способов.
Рассмотрим примеры умножения нескольких дробей и натуральных чисел.
Пример.
Выполните умножение трех обыкновенных дробей 1/20, 12/5, 3/7 и 5/8.
Решение.
Запишем произведение, которое нам нужно вычислить 
. В силу правила умножения дробей записанное произведение равно дроби, числитель которой равен произведению числителей всех дробей, а знаменатель – произведению знаменателей: 
.
Прежде чем вычислить произведения в числителе и знаменателе, целесообразно заменить все множители их разложениями на простые множители и провести сокращение (можно, конечно, сократить дробь и после умножения, но во многих случаях это требует больших вычислительных усилий): .
Ответ:
.
Пример.
Выполните умножение пяти чисел 
.
Решение.
В этом произведении удобно сгруппировать дробь 7/8 с числом 8, а число 12 с дробью 5/36, это позволит упростить вычисления, так как при такой группировке очевидно сокращение. Имеем
.
Ответ:
.
Список литературы.
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.