Числа, действия с числами Помощь в написании работ

Умножение натуральных чисел: правила, примеры, решения.


Мы имеем общее представление об умножении натуральных чисел и знаем свойства умножения натуральных чисел. Осталось научиться выполнять это действие. В этой статье мы как раз разберем правила, по которым осуществляется умножение натуральных чисел. Все изложение материала снабдим необходимыми примерами с подробными пояснениями их решений. Также остановимся на проверке результата умножения натуральных чисел.


Таблица умножения.

Для начала, основываясь на смысле умножения двух натуральных чисел, получим результаты умножения однозначных натуральных чисел. Например, произведение 6·3 равно сумме 3 одинаковых слагаемых, равных 6. В этом случае имеем 6·3=6+6+6=18 (если последний переход вызвал вопросы, то обращайтесь к теории из раздела сложение трех и большего количества чисел). Аналогично получим результаты умножения остальных однозначных натуральных чисел, и занесем их в таблицу.

Эти результаты удобно представлять в виде так называемой таблицы умножения, которая аналогична таблице сложения натуральных чисел.

Поясним, как пользоваться таблицей умножения на примере. Пусть нам нужно вычислить произведение чисел 6 и 8. Для этого отмечаем столбец, в верхней ячейке которого находится число 6 (число 8), и строку, в левой ячейке которой находится число 8 (число 6). Искомый результат записан в общей ячейке отмеченных столбца и строки. Покажем рисунок, иллюстрирующий нахождение произведения чисел 6 и 8 с помощью таблицы умножения.

Умножение трех и большего количества чисел.


До этого момента мы говорили об умножении двух чисел. Пришло время определить умножение для трех, четырех и так далее чисел. Это позволяет сделать сочетательное свойство умножения натуральных чисел.

Сочетательное свойство умножения указывает нам на равенство двух произведений a·(b·c) и (a·b)·c, где a, b и c – какие угодно натуральные числа. Таким образом, результат умножения трех чисел a, b и c не зависит от способа расстановки скобок. Из-за этого в произведениях a·(b·c) и (a·b)·c скобки часто не ставят, а произведения записывают в виде a·b·c. Выражение a·b·c называют произведением трех чисел a, b и c, числа a, b и c все также называют множителями.

Аналогично, сочетательное свойство умножения позволяет утверждать, что произведения (a·b)·(c·d), (a·(b·c))·d, ((a·b)·c)·d, a·(b·(c·d)) и a·((b·c)·d) равны. То есть, результат умножения четырех чисел тоже не зависит от распределения скобок. Произведение четырех чисел a, b, c и d записывают как a·b·c·d.

Вообще, результат умножения двух, трех, четырех и так далее чисел не зависит от способа расстановки скобок и в записи таких произведений скобки обычно опускаются.

Теперь разберемся, как вычисляется произведение нескольких чисел, в записи которого не расставлены скобки. В этом случае умножение трех и более чисел сводится к последовательной замене двух соседних множителей их произведением, пока не получим требуемый результат. Иными словами, в записи произведения мы расставляем скобки самостоятельно любым допустимым способом, после чего последовательно выполняем умножение двух чисел.

Рассмотрим пример вычисления произведения пяти натуральных чисел 2, 1, 3, 1 и 8. Запишем произведение: 2·1·3·1·8. Покажем два способа решения (всего способов решения больше, чем два).

Первый способ. Будем последовательно заменять два множителя слева их произведением. Так как результатом умножения чисел 2 и 1 является число 2, то 2·1·3·1·8=2·3·1·8. Так как 2·3=6, то 2·3·1·8=6·1·8. Дальше, так как 6·1=6, то 6·1·8=6·8. Наконец, 6·8=48. Итак, произведение пяти чисел 2, 1, 3, 1 и 8 равно 48. Это решение соответствует следующему способу расстановки скобок: (((2·1)·3)·1)·8.

Второй способ. Расставим скобки в произведении так: ((2·1)·3)·(1·8). Так как 2·1=2 и 1·8=8, то ((2·1)·3)·(1·8)=(2·3)·8. Дважды три – это шесть, тогда (2·3)·8=6·8. Наконец, 6·8=48. Итак, 2·1·3·1·8=48.

Заметим, что на результат умножения трех и более чисел не влияет также порядок следования множителей. Другими словами, множители в произведении можно записывать в любом порядке, а также менять их местами. Это утверждение следует из свойств умножения натуральных чисел.

Рассмотрим пример.

Умножим четыре числа 3, 9, 2 и 1. Запишем их произведение: 3·9·2·1. Если мы заменим множители 3 и 9 их произведением или множители 9 и 2 их произведением, то на следующем этапе нам придется проводить умножение на двузначные числа 27 или 18 (чего мы пока делать не умеем). Можно обойтись без этого, поменяв местами слагаемые и определенным образом расставив скобки. Имеем, 3·9·2·1=3·2·9·1=(3·2)·(9·1)=6·9=54.

Таким образом, меняя местами множители, мы можем вычислять произведения наиболее удобным способом.

Для полноты картины рассмотрим задачу, решение которой сводится к умножению нескольких чисел.

Пример.

В каждой коробке находится 3 предмета. В каждый ящик уложено 2 коробки. Сколько предметов содержится в 4 ящиках?

Решение.

Так как в одном ящике находятся 2 коробки, в каждой из которых 3 предмета, то в одном ящике находится 3·2=6 предметов. Тогда в четырех ящиках находится 6·4=24 предмета.

Можно рассуждать иначе. Так как в одном ящике находятся 2 коробки, тогда в четырех ящиках находятся 2·4=8 коробок. Так как в каждой коробке лежат 3 предмета, то в 8 коробках лежат 3·8=24 предмета.

Озвученные решения кратко можно записать как (3·2)·4=6·4=24 или 3·(2·4)=3·8=24.

Таким образом, искомое количество предметов равно произведению чисел 3, 2 и 4, то есть, 3·2·4=24.

Ответ:

24.

Подытожим информацию этого пункта.

Умножение трех и более натуральных чисел представляет собой последовательное умножение двух чисел. Кроме того, в силу переместительного и сочетательного свойств умножения, множители можно менять местами и заменять любые два из умножаемых чисел их произведением.

Умножение суммы на натуральное число и натурального числа на сумму.

Сложение и умножение чисел связаны распределительным свойством умножения. Это свойство позволяет изучать сложение и умножение совместно, что открывает гораздо больше возможностей, чем раздельное изучение этих действий.

Распределительное свойство умножения относительно сложения мы сформулировали для двух слагаемых: (a+b)·c=a·c+b·c, a, b, c – произвольные натуральные числа. Отталкиваясь от этого равенства, методом математической индукции можно доказать справедливость равенств (a+b+c)·d=a·d+b·d+c·d, (a+b+c+d)·h=a·h+b·h+c·h+d·h и т.д., a, b, c, d, h – некоторые натуральные числа.

Таким образом, произведение суммы нескольких чисел и данного числа равно сумме произведений каждого из слагаемых и данного числа. Этим правилом можно пользоваться при умножении суммы на данное число.

Для примера, умножим сумму пяти чисел 7, 2, 3, 8, 8 на число 3. Воспользуемся полученным правилом: (7+2+3+8+8)·3=7·3+2·3+3·3+8·3+8·3. Так как 7·3=21, 2·3=6, 3·3=9, 8·3=24, то 7·3+2·3+3·3+8·3+8·3=21+6+9+24+24. Осталось вычислить сумму пяти чисел 21+6+9+24+24=84.

Конечно, можно было сначала вычислить сумму пяти данных чисел, после чего провести умножение. Но в этом случае нам бы пришлось умножать двузначное число 7+2+3+8+8=28 на число 3, чего мы делать пока не умеем (об умножении таких чисел мы поговорим позже в разделе умножение многозначного и однозначного натуральных чисел).

Переместительное свойство умножения позволяет нам переформулировать правило умножения суммы чисел на данное число следующим образом: произведение данного числа и суммы нескольких чисел равно сумме произведений данного числа и каждого из слагаемых. Это есть правило умножения данного числа на сумму.

Приведем пример использования правила умножения числа на сумму: 2·(6+1+3)=2·6+2·1+2·3=12+2+6=20.

Давайте рассмотрим задачу, решение которой сводится к умножению суммы чисел на данное число.

Пример.

В каждой коробке находятся 3 красных, 7 зеленых и 2 синих предмета. Сколько всего предметов находится в четырех коробках?

Решение.

В одной коробке находятся 3+7+2 предметов. Тогда в четырех коробках находятся (3+7+2)·4 предметов. Вычислим произведение суммы на число, используя полученное правило: (3+7+2)·4=3·4+7·4+2·4=12+28+8=48.

Ответ:

48 предметов.

Умножение натурального числа на 10, 100, 1 000 и так далее.

Для начала получим правило умножения произвольного натурального числа на 10.

Натуральные числа 20, 30, …, 90 по своей сути соответствуют 2 десяткам, 3 десяткам, …, 9 десяткам, то есть, 20=10+10, 30=10+10+10, … Так как умножению двух натуральных чисел мы придали смысл суммы одинаковых слагаемых, то имеем
2·10=20, 3·10=30, ..., 9·10=90.

Рассуждая аналогично, приходим к следующим равенствам:
2·100=200, 3·100=300, ..., 9·100=900;
2·1 000=2 000, 3·1 000=3 000, ..., 9·1 000=9 000;
2·10 000=20 000, 3·10 000=30 000, ..., 9·10 000=90 000; ...

Так как десяток десятков есть сотня, то 10·10=100;
так как десяток сотен есть тысяча, то 100·10=1 000;
так как десяток тысяч есть десять тысяч, то 1 000·10=10 000.
Продолжая эти рассуждения, имеем 10 000·10=100 000, 100 000·10=1 000 000, …

Давайте теперь рассмотрим пример, который позволит нам сформулировать правило умножения произвольного натурального числа на десять.

Пример.

Умножим натуральное число 7 032 на 10.

Решение.

Для этого число 7 032 представим в виде суммы разрядных слагаемых, после чего воспользуемся правилом умножения суммы на число, которое мы получили в предыдущем пункте этой статьи: 7 032·10=(7 000+30+2)·10=7 000·10+30·10+2·10.

Так как 7 000=7·1 000 и 30=3·10, то полученная сумма 7 000·10+30·10+2·10 равна сумме (7·1 000)·10+(3·10)·10+2·10, а сочетательное свойство умножения позволяет записать следующее равенство:
(7·1 000)·10+(3·10)·10+2·10=7·(1 000·10)+3·(10·10)+2·10.

В силу результатов, записанных перед этим примером, имеем 7·(1 000·10)+3·(10·10)+2·10=7·10 000+3·100+2·10=70 000+300+20.

Полученная сумма 70 000+300+20 представляет собой разложение по разрядам числа 70 320.

Ответ:

7 032·10=70 320.

Выполняя аналогичные действия, мы можем умножить любое натуральное число на десять. При этом не сложно заметить, что в результате мы будем получать числа, запись которых будет отличаться от записи умножаемого числа лишь цифрой 0, находящейся справа.

Все приведенные рассуждения позволяют нам озвучить правило умножения произвольного натурального числа на десять: если в записи данного натурального числа справа дописать цифру 0, то полученная запись будет соответствовать числу, которое является результатом умножения данного натурального числа на 10.

Например, 4·10=40, 43·10=430, 501·10=5 010, 79 020·10=790 200 и т.п.

А теперь на основании правила умножения натурального числа на 10, мы можем получить правила умножения произвольного натурального числа на 100, на 1 000 и т.д.

Так как 100=10·10, то умножение любого натурального числа на 100 сводится к умножению этого числа на 10 и последующему умножению полученного результата на 10. Например,
17·100=17·10·10=170·10=1 700;
504·100=504·10·10=5 040·10=50 400;
100 497·100=100 497·10·10=1 004 970·10=10 049 700.

То есть, если справа в записи умножаемого числа приписать справа две цифры 0, то получим результат умножения этого числа на 100. Это и есть правило умножения натурального числа на 100.

Так как 1 000=100·10, то умножение любого натурального числа на тысячу сводится к умножению этого числа на 100 и последующему умножению полученного результата на 10. Из этих рассуждений следует правило умножения произвольного натурального числа на 1 000: если в записи числа справа дописать три цифры 0, то получим результат умножения этого числа на тысячу.

Аналогично, при умножении натурального числа на 10 000, 100 000 и так далее нужно дописать справа соответственно четыре цифры 0, пять цифр 0 и так далее.

Например,
58·1 000=58 000;
6 032·1 000 000=6 032 000 000;
777·10 000=7 770 000.

Умножение многозначного и однозначного натуральных чисел.

Теперь мы обладаем всеми навыками, достаточными для выполнения умножения многозначного и однозначного натуральных чисел.

Что же для этого нужно делать?

Давайте сразу разбираться на примере.

Пример.

Умножим трехзначное число 763 на однозначное число 5, то есть, вычислим произведение 763·5.

Решение.

Сначала нужно представить многозначное число в виде суммы разрядных слагаемых. В нашем примере 763=700+60+3, тогда имеем 763·5=(700+60+3)·5.

Теперь применяем правило умножения суммы на число: (700+60+3)·5=700·5+60·5+3·5.

Так как 700=7·100 и 60=6·10 (об этом мы говорили в предыдущем пункте), то сумму 700·5+60·5+3·5 можно записать как (7·100)·5+(6·10)·5+3·5.

В силу переместительного и сочетательного свойств умножения справедливо следующее равенство: (7·100)·5+(6·10)·5+3·5=(5·7)·100+(5·6)·10+3·5.

Так как 5·7=35, 5·6=30 и 3·5=15, то (5·7)·100+(5·6)·10+3·5=35·100+30·10+15.

Осталось выполнить умножение на 100 и на 10, после чего выполнить сложение трех слагаемых:
35·100+30·10+15=
3 500+300+15=3 815

Ответ:

произведение 763 и 5 равно 3 815.

Понятно, что умножение однозначного числа на многозначное число проводится подобным образом.

Для закрепления материала приведем решение еще одного примера, но в этот раз обойдемся без пояснений.

Пример.

Вычислите произведение чисел 3 и 104 558.

Решение.

3·104 558=3·(100 000+4 000+500+50+8)=
=3·100 000+3·4 000+
3·500+3·50+3·8=
=3·100 000+3·(4·1 000)+
3·(5·100)+3·(5·10)+3·8=
=3·100 000+(3·4)·1 000+
(3·5)·100+(3·5)·10+3·8=
=3·100 000+12·1 000+
15·100+15·10+3·8=
=300 000+12 000+
1 500+150+24=313 674

Ответ:

результатом умножения чисел 3 и 104 558 является число 313 674.

Умножение двух многозначных натуральных чисел.

Вот мы и подошли к кульминации – к умножению двух многозначных натуральных чисел. Первым делом нужно один из множителей разложить по разрядам (обычно раскладывается то число, запись которого состоит из большего числа знаков), после этого воспользоваться правилом умножения числа на сумму (или суммы на число). Дальнейшие вычисления не вызовут трудностей, если Вы хорошо усвоили информацию предыдущих разделов этой статьи.

Разберем все этапы умножения двух многозначных натуральных чисел на примере.

Пример.

Вычислите произведение чисел 41 и 3 806.

Решение.

Разложение натурального числа 3 806 по разрядам имеет вид 3 000+800+6, поэтому, 41·3 806=41·(3 000+800+6).

Применим правило умножения числа на сумму: 41·(3 000+800+6)=41·3 000+41·800+41·6.

Так как 3 000=3·1 000 и 800=8·100, то справедливо равенство 41·3 000+41·800+41·6=41·(3·1 000)+41·(8·100)+41·6.

Сочетательное свойство умножения позволяет нам переписать последнюю сумму в следующем виде (41·3)·1 000+(41·8)·100+41·6.

Вычислим произведения 41·3, 41·8 и 41·6 (при необходимости вернитесь к предыдущему пункту), после чего подставим полученные значения в последнюю сумму:
41·3=(40+1)·3=40·3+1·3=(4·10)·3+1·3=(3·4)·10+1·3=12·10+3=120+3=123;
41·8=(40+1)·8=40·8+1·8=(4·10)·8+1·8=(8·4)·10+1·8=32·10+8=320+8=328;
41·6=(40+1)·6=40·6+1·6=(4·10)·6+1·6=(6·4)·10+1·6=24·10+6=240+6=246.

Имеем
(41·3)·1 000+(41·8)·100+41·6=123·1 000+328·100+246=123 000+32 800+246.

Осталось вычислить сумму трех натуральных чисел: 123 000+32 800+246=156 046.

Ответ:

произведение многозначных чисел 41 и 3 806 равно 156 046.

Теперь мы умеем умножать два любых натуральных числа. Заметим, что умножение удобно проводить особым способом, о котором написано в статье умножение столбиком двух натуральных чисел.

Проверка результата умножения натуральных чисел.

После того как выполнено умножение натуральных чисел, не помешает провести проверку полученного результата. Проверка умножения осуществляется при помощи деления по следующему правилу: нужно полученное произведение разделить на один из множителей, при этом должно получиться число, равное другому множителю. Если же при такой проверке получается число, не равное другому множителю, значит, при умножении где-то была допущена ошибка.

Озвученное правило для проверки результата умножения двух натуральных чисел напрямую следует из связи между умножением и делением натуральных чисел.

Осталось лишь рассмотреть решения нескольких примеров, в которых выполняется проверка результата умножения натуральных чисел.

Пример.

Было вычислено произведение натуральных чисел 11 и 13, которое оказалось равным 143. Выполните проверку полученного результата.

Решение.

Проверку результата умножения можно провести, выполнив деление числа 143 на один из множителей, например, на 11. Имеем 143:11=(110+33):11=110:11+33:11=10+3=13 (при необходимости смотрите статью деление натуральных чисел). Так как мы получили число, которое равно другому множителю, то можно утверждать, что умножение натуральных чисел 11 и 13 было выполнено правильно.

Пример.

Умножение натуральных чисел 37 и 14 дало число 528. Проверьте, правильно ли было выполнено умножение.

Решение.

Выполним проверку результата умножения натуральных чисел 37 и 14 при помощи деления. Для этого разделим 528 на 37 и посмотрим, получится ли при этом число 14. Выполним деление натуральных чисел столбиком:

При проверке мы выяснили, что число 528 не делится на 37 без остатка, следовательно, умножение натуральных чисел 37 и 14 было выполнено неправильно.

Ответ:

проверка показала, что умножение было выполнено неправильно.

Пример.

Вычислите произведение натуральных чисел 53 и 7, результат проверьте делением.

Решение.

Число 53 представляем в виде суммы 50+3, после чего применяем свойство умножения суммы двух чисел на натуральное число: 53·7=(50+3)·7=50·7+3·7=350+21=371.

Выполним проверку. Для этого разделим полученное произведение 371 на множитель 7, при этом мы должны будем получить число 53. Имеем 371:7=(350+21):7=350:7+21:7=50+3=53. Следовательно, умножение было проведено правильно.

Ответ:

53·7=371.

Список литературы.

  • Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
  • Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+