Выражения, преобразование выражений Помощь в написании работ

Числовые, буквенные выражения и выражения с переменными: определения, примеры.


Запись условий задач с помощью принятых в математике обозначений приводит к появлению так называемых математических выражений, которые называют просто выражениями. В этой статье мы подробно поговорим про числовые, буквенные выражения и выражения с переменными: дадим определения и приведем примеры выражений каждого вида.


Числовые выражения – что это?

Знакомство с числовыми выражениями начинается чуть ли не с самых первых уроков математики. Но свое имя – числовые выражения – они официально приобретают немного позже. Например, если следовать курсу М. И. Моро, то это происходит на страницах учебника математики для 2 классов. Там представление о числовых выражениях дается так: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6), 1+1+1+1+1 и т.п. – это все числовые выражения, а если в выражении выполнить указанные действия, то найдем значение выражения.

Можно сделать вывод, что на этом этапе изучения математики числовыми выражениями называют имеющие математический смысл записи, составленные из чисел, скобок и знаков сложения и вычитания.

Чуть позже, после знакомства с умножением и делением, записи числовых выражений начинают содержать знаки «·» и «:». Приведем несколько примеров: 6·4, (2+5)·2, 6:2, (9·3):3 и т.п.

Дальше числа увеличиваются, а числовые выражения становятся более разнообразными: 212·5−12·2, (515−225)·3−916:4·7 и так далее.

А в старших классах разнообразие записей числовых выражений разрастается как снежный ком, катящийся с горы. В них появляются обыкновенные и десятичные дроби, смешанные числа и отрицательные числа, степени, корни, логарифмы, синусы, косинусы и так далее.

Обобщим всю информацию в определение числового выражения:

Определение.

Числовое выражение - это комбинация чисел, знаков арифметических действий, дробных черт, знаков корня (радикалов), логарифмов, обозначений тригонометрических, обратных тригонометрических и других функций, а также скобок и других специальных математических символов, составленная в соответствии с принятыми в математике правилами.

Разъясним все составные части озвученного определения.

В числовых выражениях могут участвовать абсолютно любые числа: от натуральных до действительных, и даже комплексных. То есть, в числовых выражениях можно встретить

Со знаками арифметических действий все понятно – это знаки сложения, вычитания, умножения и деления, имеющие соответственно вид «+», «−» , «·» и «:». В числовых выражениях может присутствовать один из этих знаков, некоторые из них или все сразу, и причем по нескольку раз. Вот примеры числовых выражений с ними: 3+6, 2,2+3,3+4,4+5,5, 41−2·4:2−5+12·3·2:2:3:12−1/12.

Что касается скобок, то имеют место как числовые выражения, в которых есть скобки, так и выражения без них. Если в числовом выражении есть скобки, то они в основном

А иногда скобки в числовых выражениях имеют какое-нибудь определенное отдельно указанное специальное предназначение. К примеру, можно встретить квадратные скобки, обозначающие целую часть числа, так числовое выражение [1,75]+2 обозначает, что к целой части числа 1,75 прибавляется число 2.

Из определения числового выражения также видно, что в выражении могут присутствовать степени, корни , логарифмы log, ln, lg, обозначения sin, cos, tg, ctg или arcsin, arccos, arctg, arcctg и т.п. Вот примеры числовых выражений с ними: tgπ, arcsin1+arccos1−π/2 и .

Деление в числовых выражениях может быть обозначено с помощью дробной черты. В этом случае имеют место числовые выражения с дробями. Приведем примеры таких выражений: 1/(1+2), 5+(2·3+1)/(7−2,2)+3 и .

В качестве специальных математических символов и обозначений, которые можно встретить в числовых выражениях, приведем знак модуля. Для примера покажем числовое выражение с модулем .

Что такое буквенные выражения?


Понятие буквенных выражений дается практически сразу после знакомства с числовыми выражениями. Вводится оно примерно так. В некотором числовом выражении одно из чисел не записывается, а вместо него ставится кружочек (или квадратик, или нечто подобное), и говорится, что вместо кружочка можно подставить некоторое число. Для примера приведем запись . Если вместо квадратика поставить, например, число 2, то получится числовое выражение 3+2. Так вот вместо кружочков, квадратиков и т.п. условились записывать буквы, а такие выражения с буквами назвали буквенными выражениями. Вернемся к нашему примеру , если в этой записи вместо квадратика поставить букву a, то получится буквенное выражение вида 3+a.

Итак, если допустить в числовом выражении присутствие букв, которыми обозначены некоторые числа, то получится так называемое буквенное выражение. Дадим соответствующее определение.

Определение.

Выражение, содержащее буквы, которыми обозначены некоторые числа, называется буквенным выражением.

Из данного определения понятно, что принципиально буквенное выражение отличается от числового выражения тем, что может содержать буквы. Обычно в буквенных выражениях используются маленькие буквы латинского алфавита (a, b, c, …), а при обозначении углов – маленькие буквы греческого алфавита (α, β, γ, …).

Итак, буквенные выражения могут быть составлены из чисел, букв и содержать все математические символы, которые могут встречаться в числовых выражениях, такие как скобки, знаки корней, логарифмы, тригонометрические и другие функции и т.п. Отдельно подчеркнем, что буквенное выражение содержит по крайней мере одну букву. Но может содержать и несколько одинаковых или различных букв.

Теперь приведем несколько примеров буквенных выражений. Например, a+b – это буквенное выражение с буквами a и b. Вот другой пример буквенного выражения 5·x3−3·x2+x−2,5. И приведем пример буквенного выражения сложного вида: .

Выражения с переменными

Если в буквенном выражении буква обозначает величину, которая принимает не какое-то одно конкретное значение, а может принимать различные значения, то эту букву называют переменной и выражение называют выражением с переменной.

Определение.

Выражение с переменными – это буквенное выражение, в котором буквы (все или некоторые) обозначают величины, принимающие различные значения.

Например, пусть в выражении x2−1 буква x может принимать любые натуральные значения из интервала от 0 до 10, тогда x – есть переменная, а выражение x2−1 есть выражение с переменной x.

Стоит отметить, что переменных в выражении может быть несколько. К примеру, если считать x и y переменными, то выражение является выражением с двумя переменными x и y.

Вообще, переход от понятия буквенного выражения к выражению с переменными происходит в 7 классе, когда начинают изучать алгебру. До этого момента буквенные выражения моделировали какие-то конкретные задачи. В алгебре же начинают смотреть на выражение более общо, без привязки к конкретной задаче, с пониманием того, что данное выражение подходит под огромное число задач.

В заключение этого пункта обратим внимание еще на один момент: по внешнему виду буквенного выражения невозможно узнать, являются ли входящие в него буквы переменными или нет. Поэтому ничто нам не мешает считать эти буквы переменными. При этом разница между терминами «буквенное выражение» и «выражение с переменными» исчезает.

Список литературы.

  • Математика. 2 кл. Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 1 / [М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др.] - 3-е изд. - М.: Просведение, 2012. - 96 с.: ил. - (Школа России). - ISBN 978-5-09-028297-0.
  • Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
  • Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
  • Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+