Математика на cleverstudents.ru

Степень, ее свойства, возведение в степень

Степень числа: определения, обозначение, примеры.

В этой статье мы разберемся, что такое степень числа. Здесь мы дадим определения степени числа, при этом подробно рассмотрим все возможные показатели степени, начиная с натурального показателя, заканчивая иррациональным. В материале Вы найдете массу примеров степеней, покрывающих все возникающие тонкости.

Степень с натуральным показателем, квадрат числа, куб числа

Для начала дадим определение степени числа с натуральным показателем. Забегая вперед, скажем, что определение степени числа a с натуральным показателем n дается для действительного числа a, которое будем называть основанием степени, и натурального числа n, которое будем называть показателем степени. Также отметим, что степень с натуральным показателем определяется через произведение, так что для понимания нижеизложенного материала нужно иметь представление об умножении чисел.

Из данного определения понятно, что с помощью степени с натуральным показателем можно кратко записывать произведения нескольких одинаковых множителей. Например, 8·8·8·8 можно записать как степень 8⁴. Это аналогично тому, как с помощью произведения записывается сумма одинаковых слагаемых, к примеру, 8+8+8+8=8·4 (смотрите статью общее представление об умножении натуральных чисел).

Сразу стоит сказать о правилах чтения степеней. Универсальный способ чтения записи aⁿ таков: «a в степени n». В некоторых случаях также допустимы такие варианты: «a в n-ой степени» и «n-ая степень числа a». Для примера возьмем степень 8¹², это «восемь в степени двенадцать», или «восемь в двенадцатой степени», или «двенадцатая степень восьми».

Вторая степень числа, а также третья степень числа имеют свои названия. Вторую степень числа называют квадратом числа, например, 7² читается как «семь в квадрате» или «квадрат числа семь». Третья степень числа называется кубом числа, к примеру, 5³ можно прочитать как «пять в кубе» или сказать «куб числа 5».

Пришло время привести примеры степеней с натуральными показателями. Начнем со степени 5⁷, здесь 5 – основание степени, а 7 – показатель степени. Приведем еще пример: десятичная дробь 4,32 является основанием, а натуральное число 9 – показателем степени (4,32)⁹.

Обратите внимание, что в последнем примере основание степени 4,32 записано в скобках: чтобы избежать разночтений мы будем брать в скобки все основания степени, которые отличны от натуральных чисел. В качестве примера приведем следующие степени с натуральными показателями , их основания не являются натуральными числами, поэтому они записаны в скобках. Ну и для полной ясности в этом моменте покажем разницу, заключенную в записях вида (−2)³ и −2³. Выражение (−2)³ – это степень отрицательного числа −2 с натуральным показателем 3, а выражение −2³ (его можно записать как −(2³)) соответствует числу, противоположному значению степени 2³.

Заметим, что встречается обозначение степени числа a с показателем n вида a^n. При этом, если n – многозначное натуральное число, то показатель степени берется в скобки. Например, 4^9 – это другая запись степени 4⁹. А вот еще примеры записи степеней при помощи символа «^»: 14^(21), (−2,1)^(155). В дальнейшем мы преимущественно будем пользоваться обозначением степени вида aⁿ.

Данное выше определение позволяет находить значение степени с натуральным показателем. Для этого нужно вычислить произведение n одинаковых множителей, равных a. Эта тема заслуживает детального рассмотрения в отдельной статье – смотрите возведение в степень с натуральным показателем.

Одной из задач, обратной возведению в степень с натуральным показателем, является задача нахождения основания степени по известному значению степени и известному показателю. Эта задача приводит к понятию корня из числа.

Также стоит изучить свойства степени с натуральным показателем, которые вытекают из данного определения степени и свойств умножения.

Степень с целым показателем

После того как мы определили степень числа a с натуральным показателем, возникает логичное стремление расширить понятие степени и перейти к степени числа, показателем которой будет любое целое число, в том числе и отрицательное и нуль. Это следует делать так, чтобы оставались справедливыми все свойства степени с натуральным показателем, так как натуральные числа являются частью целых чисел.

Степень числа a с целым положительным показателем есть не что иное как степень числа a с натуральным показателем: , где n - целое положительное число.

Теперь определим нулевую степень числа a. Будем исходить из свойства частного степеней с одинаковыми основаниями: для натуральных чисел m и n, m<n и отличного от нуля действительного числа a выполняется равенство a^m:aⁿ=a^m−n (условие a≠0 необходимо, так как в противном случае мы бы имели деление на нуль). При m=n записанное равенство нас приводит к следующему результату aⁿ:aⁿ=aⁿ⁻ⁿ=a⁰. Но с другой стороны aⁿ:aⁿ=1 как частное равных чисел aⁿ и aⁿ. Следовательно, приходится принять a⁰=1 для любого отличного от нуля действительного числа a.

А как же быть с нулем в нулевой степени? Подход, примененный в предыдущем абзаце, не подходит для этого случая. Можно вспомнить про свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями a^m·aⁿ=a^m+n, в частности при n=0 имеем a^m·a⁰=a^m (из этого равенства тоже видно, что a⁰=1). Однако, при a=0 мы получим равенство 0^m·0⁰=0^m, которое можно переписать как 0=0, оно верно при любом натуральном m вне зависимости от того, чему равно значение выражения 0⁰. Иными словами, 0⁰ может быть равно любому числу. Чтобы избежать этой многозначности, не будем приписывать нулю в степени нуль никакого смысла (по этим же соображениям при изучении деления мы не стали придавать смысл выражению 0:0).

Несложно проверить, что принятое нами равенство a⁰=1 для отличных от нуля чисел a согласуется со свойством степени в степени (a^m)ⁿ=a^m·n. Действительно, при n=0 имеем (a^m)⁰=1 и a^m·0=a⁰=1, а при m=0 имеем (a⁰)ⁿ=1ⁿ=1 и a^0·n=a⁰=1.

Так мы пришли к определению степени с нулевым показателем. Степень числа a с нулевым показателем (a отличное от нуля действительное число) равна единице, то есть, a⁰=1 при a≠0.

Приведем примеры: 5⁰=1, (33,3)⁰=1, , а 0⁰ – не определено.

Нулевую степень числа a определили, осталось определить целую отрицательную степень числа a. В этом нам поможет все то же свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями a^m·aⁿ=a^m+n. Примем m=−n, что требует условия a≠0, тогда a⁻ⁿ·aⁿ=a⁻ⁿ⁺ⁿ=a⁰=1, откуда заключаем, что aⁿ и a⁻ⁿ – взаимно обратные числа. Таким образом, логично определить число a в целой отрицательной степени −n как дробь . Несложно проверить, что при таком задании степени отличного от нуля числа a с целым отрицательным показателем остаются справедливыми все свойства степени с натуральным показателем (смотрите свойства степени с целым показателем), к чему мы и стремились.

Озвучим определение степени с целым отрицательным показателем. Степень числа a с целым отрицательным показателем −n (a отличное от нуля действительное число) – это есть дробь , то есть, при a≠0 и натуральном n.

Рассмотрим данное определение степени с целым отрицательным показателем на конкретных примерах: .

Подытожим информацию этого пункта.

Степень с рациональным показателем

От целых показателей степени числа a напрашивается переход к рациональным показателем. Ниже мы определим степень с рациональным показателем, причем будем это делать так, чтобы сохранялись все свойства степени с целым показателем. Это необходимо, так как целые числа являются частью рациональных чисел.

Известно, что множество рациональных чисел состоит из целых и дробных чисел, причем каждое дробное число может быть представлено в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби. Степень с целым показателем мы определили в предыдущем пункте, поэтому, чтобы закончить определение степени с рациональным показателем, нужно придать смысл степени числа a с дробным показателем m/n, где m – целое число, а n - натуральное. Сделаем это.

Рассмотрим степень с дробным показателем вида . Чтобы сохраняло силу свойство степени в степени, должно выполняться равенство . Если учесть полученное равенство и то, как мы определили корень n-ой степени, то логично принять при условии, что при данных m, n и a выражение имеет смысл.

Несложно проверить, что при справедливы все свойства степени с целым показателем (это сделано в разделе свойства степени с рациональным показателем).

Приведенные рассуждения позволяют сделать следующий вывод: если при данных m, n и a выражение имеет смысл, то степенью числа a с дробным показателем m/n называют корень n-ой степени из a в степени m.

Это утверждение вплотную подводит нас к определению степени с дробным показателем. Остается лишь расписать, при каких m, n и a имеет смысл выражение . В зависимости от ограничений, накладываемых на m, n и a существуют два основных подхода.

1. Проще всего наложить ограничение на a, приняв a≥0 для положительных m и a>0 для отрицательных m (так как при m≤0 степень 0^m не определена). Тогда мы получаем следующее определение степени с дробным показателем.

   Определение.

   Степенью положительного числа a с дробным показателем m/n, где m – целое, а n – натуральное число, называется корень n-ой из числа a в степени m, то есть, .

   Также определяется дробная степень нуля с той лишь оговоркой, что показатель должен быть положительным.

   Определение.

   Степень нуля с дробным положительным показателем m/n, где m – целое положительное, а n – натуральное число, определяется как .
   При степень не определяется, то есть, степень числа нуль с дробным отрицательным показателем не имеет смысла.

   Следует отметить, что при таком определении степени с дробным показателем существует один нюанс: при некоторых отрицательных a и некоторых m и n выражение имеет смысл, а мы отбросили эти случаи, введя условие a≥0. Например, имеют смысл записи или , а данное выше определение заставляет нас говорить, что степени с дробным показателем вида не имеют смысла, так как основание не должно быть отрицательным.

2. Другой подход к определению степени с дробным показателем m/n заключается в раздельном рассмотрении четных и нечетных показателях корня . Этот подход требует дополнительного условия: степень числа a, показателем которой является сократимая обыкновенная дробь, считается степенью числа a, показателем которой является соответствующая несократимая дробь (важность этого условия поясним чуть ниже). То есть, если m/n – несократимая дробь, то для любого натурального числа k степень предварительно заменяется на .

   При четных n и положительных m выражение имеет смысл при любом неотрицательном a (корень четной степени из отрицательного числа не имеет смысла), при отрицательных m число a должно быть еще отличным от нуля (иначе будет деление на нуль). А при нечетных n и положительных m число a может быть любым (корень нечетной степени определен для любого действительного числа), а при отрицательных m число a должно быть отличным от нуля (чтобы не было деления на нуль).

   Приведенные рассуждения приводят нас к такому определению степени с дробным показателем.

   Определение.

   Пусть m/n – несократимая дробь, m – целое, а n – натуральное число. Для любой сократимой обыкновенной дроби степень заменяется на . Степень числа a с несократимым дробным показателем m/n - это для

   • любого действительного числа a, целого положительного m и нечетного натурального n, например, ;
   • любого отличного от нуля действительного числа a, целого отрицательного m и нечетного n, к примеру, ;
   • любого неотрицательного числа a, целого положительного m и четного n, например, ;
   • любого положительного a, целого отрицательного m и четного n, к примеру, ;
   • в остальных случаях степень с дробным показателем не определяется, как например не определены степени .

   Поясним, зачем степень с сократимым дробным показателем предварительно заменяется степенью с несократимым показателем. Если бы мы просто определили степень как , и не оговорились о несократимости дроби m/n, то мы бы столкнулись с ситуациями, подобными следующей: так как 6/10=3/5, то должно выполняться равенство , но , а .

Заметим, что первое определение степени с дробным показателем удобнее в применении, чем второе. Поэтому мы в дальнейшем будем использовать именно его.

Итак,

В заключение этого пункта обратим внимание на то, что дробный показатель степени может быть записан в виде десятичной дроби или смешанного числа, например, . Для вычисления значений выражений подобного вида нужно показатель степени записать в виде обыкновенной дроби, после чего воспользоваться определением степени с дробным показателем. Для указанных примеров имеем и .

Степень с иррациональным и действительным показателем

Известно, что множество действительных чисел можно рассматривать как объединение множеств рациональных и иррациональных чисел. Поэтому степень с действительным показателем можно будет считать определенной, когда будут определены степень с рациональным показателем и степень с иррациональным показателем. Про степень с рациональным показателем мы говорили в предыдущем пункте, осталось разобраться со степенью с иррациональным показателем.

К понятию степени числа a с иррациональным показателем будем подходить постепенно.

Пусть - последовательность десятичных приближений иррационального числа . Для примера возьмем иррациональное число , тогда можно принять , или , и т.п. Здесь стоит отметить, что числа - рациональные.

Последовательности рациональных чисел соответствует последовательность степеней , причем мы можем вычислить значения этих степеней на базе материала статьи возведение в рациональную степень. В качестве примера возьмем a=3, и , тогда , а после возведения в степень получаем .

Наконец, последовательность сходится к некоторому числу, которое и является значением степени числа a с иррациональным показателем . Вернемся к нашему примеру: степень с иррациональным показателем вида сходится к числу, которое с точностью до сотых равно 6,27.

Степень числа нуль определяется для положительных иррациональных показателей, при этом . Например, . А степень числа 0 с отрицательным иррациональным показателем не определяется, к примеру, - не определены.

Отдельно стоит сказать про иррациональную степень единицы – единица в любой иррациональной степени равна 1. Например, и .