Метод решения уравнений h(f(x))=h(g(x)), описание, решение примеров

Продолжаем знакомство с общими методами решения уравнений. Пришло время разобрать метод, позволяющий решать уравнения h(f(x))=h(g(x)), где f, g и h – функции, а x – независимая переменная, путем освобождения от внешней функции h, то есть, через переход к уравнению f(x)=g(x). Школьные учебники содержат лишь обзорную информацию по этой теме, например, [1, с. 211-212]. Предлагаем проработать эту тему более детально. В этой статье мы обговорим, при каком условии можно освободиться от внешней функции h, приведем обоснование метода, запишем алгоритм решения уравнений и рассмотрим решения характерных примеров.

Суть метода и условие его применимости

Иногда для решения уравнения h(f(x))=h(g(x)) можно освободиться от внешней функции h, то есть, перейти к решению уравнения f(x)=g(x). Например, решение уравнения (x2−2)7=x7 (это уравнение имеет вид h(f(x))=h(g(x)), где f(x)=x2−2, g(x)=x, а h – функция возведения в седьмую степень) можно заменить решением уравнения x2−2=x. Но подобные переходы можно проводить далеко не всегда. К примеру, не стоит решение уравнения |2·x|=|x−1| проводить через освобождение от внешней функции, которой в данном случае является функция взятия модуля, так как при переходе к уравнению 2·x=x−1 будет потерян корень x=1/3.

Для законного перехода от уравнения h(f(x))=h(g(x)) к уравнению f(x)=g(x) должны соблюдаться определенные условия. Если обговорить эти условия, то мы получим метод решения уравнений h(f(x))=h(g(x)), состоящий в освобождении от внешней функции h. Давайте сразу договоримся называть этот метод решения уравнения h(f(x))=h(g(x)) методом освобождения от внешней функции.

Из приведенных рассуждений уже понятна суть метода: определить решение уравнения h(f(x))=h(g(x)) через решение более простого уравнения f(x)=g(x), полученного из исходного освобождением от внешней функции. Осталось разобраться, какие условия должны выполняться для перехода от уравнения h(f(x))=h(g(x)) к уравнению f(x)=g(x).

Первое условие связано с областью допустимых значений – нам необходимо оставаться в рамках ОДЗ переменной x для исходного уравнения h(f(x))=h(g(x)). Это довольно очевидно: при освобождении от внешней функции h может происходить расширение ОДЗ, что может повлечь появление посторонних корней. Второе условие касается функции h – она должна принимать каждое свое значение по одному разу. Другими словами, она не должна принимать одинаковые значения для разных значений аргумента. В частности, этому условию удовлетворяют все непрерывные возрастающие и непрерывные убывающие функции. Необходимость этого условия станет понятна после изучения информации следующего пункта текущей статьи.

Прежде чем двигаться дальше, заметим, что в приведенном выше примере при переходе от уравнения |2·x|=|x−1| к уравнению 2·x=x−1 было проигнорировано второе условие (точнее, мы не знали о его существовании). Действительно, функция взятия модуля каждое свое значение, кроме нуля, принимает по два раза. Например, значение 7 она принимает два раза: при значении аргумента −7 и 7, ведь |−7|=7 и |7|=7. Неприятный результат игнорирования этого условия в данном примере мы помним: был потерян корень уравнения.

Так мы приходим к пониманию, в чем состоит метод освобождения от внешней функции. Он состоит в переходе от исходного уравнения h(f(x))=h(g(x)) к уравнению f(x)=g(x) на ОДЗ переменной x для исходного уравнения при условии, что функция h принимает каждое свое значение только по одному разу.

Остается разобраться, что лежит в основе разбираемого метода. Сформулируем соответствующее утверждение:

Утверждение

Если функция h принимает каждое свое значение только по одному разу, то множество решений уравнения h(f(x))=h(g(x)) совпадает с множеством решений уравнения f(x)=g(x) на ОДЗ для уравнения h(f(x))=h(g(x)).

Докажем это утверждение в следующем пункте.

К началу страницы

Обоснование метода

Сначала докажем довольно очевидное вспомогательное утверждение.

Утверждение

Если функция h каждое свое значение принимает только по одному разу, то для любых чисел z1 и z2 из ее области определения равенство h(z1)=h(z2) возможно тогда и только тогда, когда z1=z2.

Доказательство

Воспользуемся методом доказательства от противного.

Пусть z1=z2. Докажем, что h(z1)=h(z2). Так как z1 и z2 – числа из области определения функции h, то выражения h(z1) и h(z2) имеют смысл. Предположим, что h(z1)≠h(z2). Это означает, что h(z1) и h(z2) – разные значения функции. Из этого и из того, что функция h каждое свое значение принимает только по одному разу, вытекает, что z1 и z2 – разные точки области определения функции h. Это означает, что z1≠z2. Так мы пришли к противоречию, значит, наше предположение неверно. Поэтому h(z1)=h(z2).

Пусть h(z1)=h(z2). Докажем, что z1=z2. Предположим, что это не так, то есть, что z1≠z2. Это означает, что z1 и z2 – разные числа из области определения функции h. Тогда в силу того, что функция h каждое свое значение принимает только по одному разу, следует, что h(z1) и h(z2) – разные значения функции. То есть, h(z1)≠h(z2). Опять пришли к противоречию.

Можно переходить к главному - доказательству утверждения из предыдущего пункта. Его можно провести в два этапа:

  • сначала доказать, что если функция h каждое свое значение принимает только по одному разу, то любой корень уравнения h(f(x))=h(g(x)) является корнем уравнения f(x)=g(x),
  • после чего доказать, что если функция h каждое свое значение принимает только по одному разу, то любой корень уравнения f(x)=g(x), принадлежащий ОДЗ для уравнения h(f(x))=h(g(x)), является корнем уравнения h(f(x))=h(g(x)).

Приступаем к доказательству первой части. Пусть x0 – корень уравнения h(f(x))=h(g(x)). Тогда h(f(x0))=h(g(x0)) – верное числовое равенство. Из этого равенства и из того, что функция h каждое свое значение принимает только по одному разу, следует, что f(x0)=g(x0). А это равенство означает, что x0 – корень уравнения f(x)=g(x).

Первая часть доказана. Переходим к доказательству второй части.

Пусть x0 – корень уравнения f(x)=g(x), принадлежащий ОДЗ для уравнения h(f(x))=h(g(x)). Так как x0 – корень уравнения f(x)=g(x), то f(x0)=g(x0) – верное числовое равенство. Так как x0 принадлежит ОДЗ для уравнения h(f(x))=h(g(x)), то выражение h(f(x0))=h(g(x0)) имеет смысл. Из этих результатов и из того, что функция h каждое свое значение принимает только по одному разу, вытекает, что h(f(x0))=h(g(x0)) – верное числовое равенство. А это означает, что x0 – корень уравнения h(f(x))=h(g(x)).

Так доказана вторая часть утверждения и все утверждение в целом.

К началу страницы

Алгоритм

Утверждение, лежащее в основе метода, для нужд практики удобно преобразовать в алгоритм решения уравнений h(f(x))=h(g(x)). Чтобы решить уравнение h(f(x))=h(g(x)) методом освобождения от внешней функции h, надо

  • убедиться, что функция h принимает каждое свое значение только по одному разу,
  • освободиться от внешней функции h, то есть, перейти к уравнению f(x)=g(x) и решить его,
  • если при переходе от уравнения h(f(x))=h(g(x)) к уравнению f(x)=g(x) расширяется ОДЗ, то отсеять посторонние корни.

Дадим необходимые комментарии по каждому пункту алгоритма.

Проверка функции h на предмет того, что она каждое свое значение принимает только по одному разу, в общем случае является довольно сложной задачей, перекликающейся с полным исследованием функции. Но стоит заметить, что на практике обычно приходится иметь дело с непрерывными на области своего определения функциями h, которые либо возрастающие, либо убывающие. То есть, обычно задача из первого пункта алгоритма сводится к исследованию функции на возрастание-убывание. Для случая основных элементарных функций решение этой задачи вообще тривиально. Например, в уравнении мы имеем дело с внешней функцией извлечения кубического корня, мы знаем, что она непрерывная и возрастающая на области своего определения, значит, она удовлетворяет условию первого пункта алгоритма.

Второй пункт алгоритма чисто технический и в комментариях не нуждается.

После того, как решено уравнение f(x)=g(x) может потребоваться провести отсеивание посторонних корней. При этом нужно понимать, что при переходе от уравнения h(f(x))=h(g(x)) к уравнению f(x)=g(x) при условии, что функция h удовлетворяет оговоренным для нее условиям, посторонние корни могут появиться лишь по одной причине – из-за расширения ОДЗ. Поэтому, если ОДЗ остается неизменной, то отсеивать посторонние корни не обязательно. Например, при переходе от уравнения к уравнению x2+7·x+6=−3·x, очевидно, ОДЗ как была множеством R, так и остается множеством R, значит, после нахождения корней полученного уравнения не будет необходимости в отсеивании посторонних корней. Если же есть основания полагать, что в результате освобождения от внешней функции ОДЗ могла расшириться (вместе с отбрасыванием внешней функции пропадают некоторые ограничения, например, при переходе от уравнения к уравнению пропадают ограничения и ) или точно расширилась (мы нашли ОДЗ для уравнения до перехода и для уравнения после перехода, и увидели, что ОДЗ расширилась), то отсеивание корней необходимо. Понятно, что его можно будет провести по ОДЗ или по условиям ОДЗ.

Теперь можно переходить к применению алгоритма на практике.

К началу страницы

Примеры решения уравнений

Рассмотрим пример решения уравнения методом освобождения от внешней функции. Пусть в качестве внешней функции выступит арксинус.

Пример

Решите уравнение .

Смотреть решение

Аналогично решаются уравнения h(f(x))=h(g(x)), когда внешней функцией является любая из следующих основных элементарных функций:

  • функция извлечения корня степени n, где n=2, 3, ...,
  • степенная с любым действительным показателем, отличным от 2·k, где k – целое число,
  • показательная с любым положительным и отличным от единицы основанием,
  • логарифмическая с любым положительным и отличным от единицы основанием логарифма,
  • арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

Заметим, что через освобождение от внешней функции решаются показательные уравнения , логарифмические уравнения , также этим методом можно решать иррациональные уравнения, имеющие структуру .

Часто основная сложность в решении уравнений h(f(x))=h(g(x)) состоит в том, чтобы разглядеть, что уравнение имеет именно такую структуру, и в обосновании того, что внешняя функция h принимает каждое свое значение только по одному разу. Например, не так-то просто увидеть, что уравнение соответствует структуре h(f(x))=h(g(x)), особенно если оно записано как . А структура уравнения действительно такая: , , а функция h такая, что . После этого через производную можно доказать возрастание функции h. А дальнейшее решение – это дело техники.

К началу страницы