Уравнения, сводящиеся к числовым равенствам. Описание метода решения, примеры

Решение уравнений часто проводится через преобразование уравнений, что позволяет выстроить цепочку равносильных уравнений и уравнений-следствий с довольно простым в плане решения последним уравнением. Иногда в конце цепочки оказывается уравнение вида 0·f(x)=C, где C – некоторое число, f(x) – некоторое выражение с переменной x. Решению таких уравнений посвящена эта статья.

Давайте уравнения 0·f(x)=C будем называть уравнениями, сводящимися к числовым равенствам. Это логично: замена в уравнении 0·f(x)=C выражения 0·f(x) тождественно равным ему выражением 0 приводит к числовому равенству 0=C, которое в зависимости от значения числа C может быть верным (при C=0) или неверным (при C≠0).

Метод решения уравнений 0·f(x)=C можно рассматривать как общий метод решения уравнений, так как он не требует, чтобы выражение f(x) относилось к какому-либо определенному виду.

Теперь ближе к делу.

Решение уравнений, сводящихся к верным числовым равенствам

Уравнения, сводящиеся к верным числовым равенствам, впервые предстают перед учащимися на уроках математики в 7 классе в рамках темы «линейные уравнения». Там разбирается решение уравнения 0·x=0, и мы узнаем, что решением этого уравнения является любое значение переменной x, так как равенство 0·x=0 верно при любом значении переменной [1, с. 25-26; 2, с. 19-20].

Дальше в учебниках математики про решение уравнений, сводящихся к числовым равенствам, нигде обстоятельно не говорят. Однако столкнуться с такими уравнениями вполне можно. В сборниках задач приходилось видеть уравнения, которые через преобразования приводились к виду 0·f(x)=0. Так что на всякий случай давайте разберемся, как они решаются.

Проведем необходимые рассуждения.

Мы знаем, что корень уравнения – это такое значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Исходя из этого, чтобы число x0 было корнем уравнения 0·f(x)=0, должно быть верным числовое равенство 0·f(x0)=0. А когда это равенство верное? Очевидно, всегда, когда оно имеет смысл, ведь в этом случае произведение 0·f(x0) равно нулю как произведение нуля и еще одного числа. А когда равенство 0·f(x0)=0 имеет смысл? Очевидно, тогда и только тогда, когда x0 принадлежит области допустимых значений переменной x для решаемого уравнения 0·f(x)=0. Следовательно, решением уравнения 0·f(x)=0 является любое число из его ОДЗ. Другими словами, множество решений уравнения 0·f(x)=0 совпадает с ОДЗ переменной x для этого уравнения.

Таким образом, решение уравнения 0·f(x)=0 заключается в нахождении ОДЗ.

Рассмотрим решение примера.

Пример

Решите уравнение .

Смотреть решение

Теперь стоит поговорить про решение уравнений, которые изначально имеют вид, отличный от 0·f(x)=0, но приводятся к такому виду в результате проведения преобразований. Понятно, что решение последнего уравнения 0·f(x)=0 полностью согласуется с изложенными выше принципами. Нужно лишь грамотно сделать вывод о корнях исходного уравнения по полученному решению уравнения 0·f(x)=0.

Если при переходе от исходного уравнения к уравнению 0·f(x)=0 использовались только преобразования, приводящие к равносильным уравнениям и уравнениям-следствиям, при этом не использовалось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, то решением исходного уравнения является любое число из ОДЗ для этого уравнения. Обоснуем это.

Понятно, что если использовались только оговоренные преобразования для перехода к уравнению 0·f(x)=0, то оно, либо равносильно исходному, либо является его следствием. Причем, если уравнение 0·f(x)=0 равносильно исходному уравнению, то ОДЗ для него совпадает с ОДЗ для исходного уравнения, множество его решений совпадает с множеством решений исходного уравнения. Мы знаем, что его решением является любое число из ОДЗ. Следовательно, решением исходного уравнения является любое число из его ОДЗ. Если же уравнение 0·f(x)=0 является следствием исходного, то среди его решений могут быть корни, посторонние для исходного уравнения. Причиной их возникновения может выступать лишь расширение ОДЗ, так как к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень мы не прибегали. Значит, они могут быть отсеяны по ОДЗ для исходного уравнения. Решением уравнения 0·f(x)=0 является любое число из ОДЗ для него, поэтому решением исходного уравнения будет любое число из ОДЗ для исходного уравнения.

Приведем пример.

Пример

Решите уравнение .

Смотреть решение

Если же среди преобразований, приводящих уравнение к виду 0·f(x)=0, фигурирует возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, то нельзя утверждать, что решением исходного уравнения является любое число из ОДЗ для этого уравнения. Дело здесь в том, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень может быть причиной появления посторонних корней в рамках ОДЗ. Этот нюанс детально разобран при решении иррационального уравнения здесь.

К началу страницы

Решение уравнений, сводящихся к неверным числовым равенствам

Простейшими уравнениями, сводящимися к неверным числовым равенствам, можно считать уравнения 0·x=C, где C – отличное от нуля число. Их решение разбирается в школе при разговоре о линейных уравнениях. Там приводятся такие рассуждения: уравнение 0·x=C, C≠0 решений не имеет, так как оно не обращается в верное числовое равенство ни при каких значениях переменной. Действительно, какое бы число x0 мы не взяли, его подстановка в исходное уравнение дает неверное числовое равенство 0·x0=C, C≠0, так как произведение в левой части этого равенства равно нулю как произведение нуля и какого-то числа, а в правой части этого равенства находится отличное от нуля число C.

Итак, любое из уравнений 0·x=C, C≠0 не имеет решений. Например, не имеет решений уравнение 0·x=−7, также не имеет решений и уравнение 0·x=0,0125.

Абсолютно такой же вывод можно сделать и о решениях уравнений 0·f(x)=C, C≠0, каким бы выражением не было f(x). Действительно, подстановка любого значения x0, при котором уравнение 0·f(x)=C имеет смысл, в уравнение 0·f(x)=C, C≠0 дает неверное числовое равенство 0·f(x0)=C. Действительно, произведение в левой части этого равенства равно нулю как произведение нуля и какого-то еще числа f(x0), а в правой части равенства находится отличное от нуля число C. Таким образом, любое из уравнений 0·f(x)=C, C≠0 не имеет решений.

Например, уравнение не имеет решений. Действительно, это уравнение вида 0·f(x)=C, C≠0, а мы знаем, что такие уравнения не имеют корней.

Осталось сказать, что уравнения, которые через переходы к равносильным уравнениям и уравнениям-следствиям приводятся к уравнениям 0·f(x)=C, C≠0, тоже не имеют решений, что очевидно. Можете посмотреть пример решения такого уравнения.

К началу страницы