Математика на cleverstudents.ru

Степень, ее свойства, возведение в степень

Свойства степеней, формулировки, доказательства, примеры.

После того как определена степень числа, логично поговорить про свойства степени. В этой статье мы дадим основные свойства степени числа, при этом затронем все возможные показатели степени. Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров.

Свойства степеней с натуральными показателями

По определению степени с натуральным показателем степень aⁿ представляет собой произведение n множителей, каждый из которых равен a. Отталкиваясь от этого определения, а также используя свойства умножения действительных чисел, можно получить и обосновать следующие свойства степени с натуральным показателем:

1. основное свойство степени a^m·aⁿ=a^m+n, его обобщение a^n₁·a^n₂·…·a^n_k=a^{n₁+n₂+…+n_k};
2. свойство частного степеней с одинаковыми основаниями a^m:aⁿ=a^m−n;
3. свойство степени произведения (a·b)ⁿ=aⁿ·bⁿ, его расширение (a₁·a₂·…·a_k)ⁿ=a₁ⁿ·a₂ⁿ·…·a_kⁿ;
4. свойство частного в натуральной степени (a:b)ⁿ=aⁿ:bⁿ;
5. возведение степени в степень (a^m)ⁿ=a^m·n, его обобщение (((a^n₁)^n₂)^…)^n_k=a^{n₁·n₂·…·n_k};
6. сравнение степени с нулем:
   • если a>0, то aⁿ>0 для любого натурального n;
   • если a=0, то aⁿ=0;
   • если a<0 и показатель степени является четным числом 2·m, то a^2·m>0, если a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1, то a^2·m−1<0;
7. если a и b – положительные числа и a<b, то для любого натурального n справедливо неравенство aⁿ<bⁿ;
8. если m и n такие натуральные числа, что m>n, то при 0<a<1 выполняется неравенство a^m<aⁿ, а при a>0 справедливо неравенство a^m>aⁿ.

Сразу заметим, что все записанные равенства являются тождественными при соблюдении указанных условий, и их правые и левые части можно поменять местами. Например, основное свойство дроби a^m·aⁿ=a^m+n при упрощении выражений часто применяется в виде a^m+n=a^m·aⁿ.

Теперь рассмотрим каждое из них подробно.

1. Начнем со свойства произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, которое называют основным свойством степени: для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n справедливо равенство a^m·aⁿ=a^m+n.

   Докажем основное свойство степени. По определению степени с натуральным показателем произведение степеней с одинаковыми основаниями вида a^m·aⁿ можно записать как произведение . В силу свойств умножения полученное выражение можно записать как , а это произведение есть степень числа a с натуральным показателем m+n, то есть, a^m+n. На этом доказательство завершено.

   Приведем пример, подтверждающий основное свойство степени. Возьмем степени с одинаковыми основаниями 2 и натуральными степенями 2 и 3, по основному свойству степени можно записать равенство 2²·2³=2²⁺³=2⁵. Проверим его справедливость, для чего вычислим значения выражений 2²·2³ и 2⁵. Выполняя возведение в степень, имеем 2²·2³=(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 и 2⁵=2·2·2·2·2=32, так как получаются равные значения, то равенство 2²·2³=2⁵ - верное, и оно подтверждает основное свойство степени.

   Основное свойство степени на базе свойств умножения можно обобщить на произведение трех и большего числа степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Так для любого количества k натуральных чисел n₁, n₂, …, n_k справедливо равенство a^n₁·a^n₂·…·a^n_k=a^{n₁+n₂+…+n_k}.

   Например, (2,1)³·(2,1)³·(2,1)⁴·(2,1)⁷=(2,1)^3+3+4+7=(2,1)¹⁷.

2. Можно переходить к следующему свойству степеней с натуральным показателем – свойству частного степеней с одинаковыми основаниями: для любого отличного от нуля действительного числа a и произвольных натуральных чисел m и n, удовлетворяющих условию m>n, справедливо равенство a^m:aⁿ=a^m−n.

   Прежде чем привести доказательство этого свойства, обговорим смысл дополнительных условий в формулировке. Условие a≠0 необходимо для того, чтобы избежать деления на нуль, так как 0ⁿ=0, а при знакомстве с делением мы условились, что на нуль делить нельзя. Условие m>n вводится для того, чтобы мы не выходили за рамки натуральных показателей степени. Действительно, при m>n показатель степени a^m−n является натуральным числом, в противном случае он будет либо нулем (что происходит при m−n), либо отрицательным числом (что происходит при m<n), а мы ведем разговор про свойства степени с натуральным показателем.

   Доказательство. Основное свойство дроби позволяет записать равенство a^m−n·aⁿ=a^(m−n)+n=a^m. Из полученного равенства a^m−n·aⁿ=a^m и из связи умножения с делением следует, что a^m−n является частным степеней a^m и aⁿ. Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями.

   Приведем пример. Возьмем две степени с одинаковыми основаниями π и натуральными показателями 5 и 2, рассмотренному свойству степени отвечает равенство π⁵:π²=π⁵⁻³=π³.

3. Теперь рассмотрим свойство степени произведения: натуральная степень n произведения двух любых действительных чисел a и b равна произведению степеней aⁿ и bⁿ, то есть, (a·b)ⁿ=aⁿ·bⁿ.

   Действительно, по определению степени с натуральным показателем имеем . Последнее произведение на основании свойств умножения можно переписать как , что равно aⁿ·bⁿ.

   Приведем пример: .

   Данное свойство распространяется на степень произведения трех и большего количества множителей. То есть, свойство натуральной степени n произведения k множителей записывается как (a₁·a₂·…·a_k)ⁿ=a₁ⁿ·a₂ⁿ·…·a_kⁿ.

   Для наглядности покажем это свойство на примере. Для произведения трех множителей в степени 7 имеем .

4. Следующее свойство представляет собой свойство частного в натуральной степени: частное действительных чисел a и b, b≠0 в натуральной степени n равно частному степеней aⁿ и bⁿ, то есть, (a:b)ⁿ=aⁿ:bⁿ.

   Доказательство можно провести, используя предыдущее свойство. Так (a:b)ⁿ·bⁿ=((a:b)·b)ⁿ=aⁿ, а из равенства (a:b)ⁿ·bⁿ=aⁿ следует, что (a:b)ⁿ является частным от деления aⁿ на bⁿ.

   Запишем это свойство на примере конкретных чисел: .

5. Теперь озвучим свойство возведения степени в степень: для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n степень a^m в степени n равна степени числа a с показателем m·n, то есть, (a^m)ⁿ=a^m·n.

   Например, (5²)³=5^2·3=5⁶.

   Доказательством свойства степени в степени является следующая цепочка равенств: .

   Рассмотренное свойство можно распространить на степень в степени в степени и т.д. Например, для любых натуральных чисел p, q, r и s справедливо равенство . Для большей ясности приведем пример с конкретными числами: (((5,2)³)²)⁵=(5,2)³⁺²⁺⁵=(5,2)¹⁰.

6. Осталось остановиться на свойствах сравнения степеней с натуральным показателем.

   Начнем с доказательства свойства сравнения нуля и степени с натуральным показателем.

   Для начала обоснуем, что aⁿ>0 при любом a>0.

   Произведение двух положительных чисел является положительным числом, что следует из определения умножения. Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом. А степень числа a с натуральным показателем n по определению является произведением n множителей, каждый из которых равен a. Эти рассуждения позволяют утверждать, что для любого положительного основания a степень aⁿ есть положительное число. В силу доказанного свойства 3⁵>0, (0,00201)²>0 и .

   Достаточно очевидно, что для любого натурального n при a=0 степень aⁿ есть нуль. Действительно, 0ⁿ=0·0·…·0=0. К примеру, 0³=0 и 0⁷⁶²=0.

   Переходим к отрицательным основаниям степени.

   Начнем со случая, когда показатель степени является четным числом, обозначим его как 2·m, где m - натуральное. Тогда . По правилу умножения отрицательных чисел каждое из произведений вида a·a равно произведению модулей чисел a и a, значит, является положительным числом. Следовательно, положительным будет и произведение и степень a^2·m. Приведем примеры: (−6)⁴>0, (−2,2)¹²>0 и .

   Наконец, когда основание степени a является отрицательным числом, а показатель степени есть нечетное число 2·m−1, то . Все произведения a·a являются положительными числами, произведение этих положительных чисел также положительно, а его умножение на оставшееся отрицательное число a дает в итоге отрицательное число. В силу этого свойства (−5)³<0, (−0,003)¹⁷<0 и .

7. Переходим к свойству сравнения степеней с одинаковыми натуральными показателями, которое имеет следующую формулировку: из двух степеней с одинаковыми натуральными показателями n меньше та, основание которой меньше, а больше та, основание которой больше. Докажем его.

   Неравенство aⁿ<bⁿ представляет собой произведение левых и правых частей n верных неравенств a<b, следовательно, в силу свойств неравенств справедливо и доказываемое неравенство вида aⁿ<bⁿ. Например, в силу этого свойства справедливы неравенства 3⁷>(2,2)⁷ и .

8. Осталось доказать последнее из перечисленных свойств степеней с натуральными показателями. Сформулируем его. Из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми положительными основаниями, меньшими единицы, больше та степень, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше. Переходим к доказательству этого свойства.

   Докажем, что при m>n и 0<a<1 выполняется неравенство a^m<aⁿ. Для этого запишем разность a^m−aⁿ и сравним ее с нулем. Записанная разность после вынесения aⁿ за скобки примет вид aⁿ·(a^m−n−1). Полученное произведение отрицательно как произведение положительного числа aⁿ и отрицательного числа a^m−n−1 (aⁿ положительна как натуральная степень положительного числа, а разность a^m−n−1 отрицательна, так как m−n>0 в силу исходного условия m>n, откуда следует, что при 0<a<1 степень a^m−n меньше единицы). Следовательно, a^m−aⁿ<0 и a^m<aⁿ, что и требовалось доказать. Для примера приведем верное неравенство .

   Осталось доказать вторую часть свойства. Докажем, что при m>n и a>1 справедливо a^m>aⁿ. Разность a^m−aⁿ после вынесения aⁿ за скобки принимает вид aⁿ·(a^m−n−1). Это произведение положительно, так как при a>1 степень aⁿ есть положительное число, и разность a^m−n−1 есть положительное число, так как m−n>0 в силу начального условия, и при a>1 степень a^m−n больше единицы. Следовательно, a^m−aⁿ>0 и a^m>aⁿ, что и требовалось доказать. Иллюстрацией этого свойства служит неравенство 3⁷>3².

Свойства степеней с целыми показателями

Так как целые положительные числа есть натуральные числа, то все свойства степеней с целыми положительными показателями в точности совпадают со свойствами степеней с натуральными показателями, перечисленными и доказанными в предыдущем пункте.

Степень с целым отрицательным показателем, а также степень с нулевым показателем мы определяли так, чтобы оставались справедливыми все свойства степеней с натуральными показателями, выражаемые равенствами. Поэтому, все эти свойства справедливы и для нулевых показателей степени, и для отрицательных показателей, при этом, конечно, основания степеней отличны от нуля.

Итак, для любых действительных и отличных от нуля чисел a и b, а также любых целых чисел m и n справедливы следующие свойства степеней с целыми показателями:

1. a^m·aⁿ=a^m+n;
2. a^m:aⁿ=a^m−n;
3. (a·b)ⁿ=aⁿ·bⁿ;
4. (a:b)ⁿ=aⁿ:bⁿ;
5. (a^m)ⁿ=a^m·n;
6. если n – целое положительное число, a и b – положительные числа, причем a<b, то aⁿ<bⁿ и a⁻ⁿ>b⁻ⁿ;
7. если m и n – целые числа, причем m>n, то при 0<a<1 справедливо неравенство a^m<aⁿ, а при a>1 выполняется неравенство a^m>aⁿ.

При a=0 степени a^m и aⁿ имеют смысл лишь когда и m, и n положительные целые числа, то есть, натуральные числа. Таким образом, только что записанные свойства также справедливы для случаев, когда a=0, а числа m и n – целые положительные.

Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами. Для примера докажем, что свойство степени в степени выполняется как для целых положительных чисел, так и для целых неположительных чисел. Для этого нужно показать, что если p есть нуль или натуральное число и q есть нуль или натуральное число, то справедливы равенства (a^p)^q=a^p·q, (a^−p)^q=a^(−p)·q, (a^p)^−q=a^p·(−q) и (a^−p)^−q=a^{(−p)·(−q)}. Сделаем это.

Для положительных p и q равенство (a^p)^q=a^p·q доказано в предыдущем пункте. Если p=0, то имеем (a⁰)^q=1^q=1 и a^0·q=a⁰=1, откуда (a⁰)^q=a^0·q. Аналогично, если q=0, то (a^p)⁰=1 и a^p·0=a⁰=1, откуда (a^p)⁰=a^p·0. Если же и p=0 и q=0, то (a⁰)⁰=1⁰=1 и a^0·0=a⁰=1, откуда (a⁰)⁰=a^0·0.

Теперь докажем, что (a^−p)^q=a^(−p)·q. По определению степени с целым отрицательным показателем , тогда . По свойству частного в степени имеем . Так как 1^p=1·1·…·1=1 и , то . Последнее выражение по определению является степенью вида a^−(p·q), которую в силу правил умножения можно записать как a^(−p)·q.

Аналогично .

И .

По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств.

В предпоследнем из записанных свойств стоит остановиться на доказательстве неравенства a⁻ⁿ>b⁻ⁿ, которое справедливо для любого целого отрицательного −n и любых положительных a и b, для которых выполняется условие a<b. Доказываемое неравенство по определению степени с целым отрицательным показателем можно переписать как . Запишем и преобразуем разность левой и правой частей этого неравенства: . Так как по условию a<b, то по свойству степени с натуральным показателем aⁿ<bⁿ, следовательно, bⁿ−aⁿ>0. Произведение aⁿ·bⁿ тоже положительно как произведение положительных чисел aⁿ и bⁿ. Тогда полученная дробь положительна как частное положительных чисел bⁿ−aⁿ и aⁿ·bⁿ. Следовательно, откуда a⁻ⁿ>b⁻ⁿ, что и требовалось доказать.

Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается так же, как аналогичное свойство степеней с натуральными показателями.

Свойства степеней с рациональными показателями

Степень с дробным показателем мы определяли, распространяя на нее свойства степени с целым показателем. Иными словами, степени с дробными показателями обладают теми же свойствами, что и степени с целыми показателями. А именно:

1. свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями при a>0, а если и , то при a≥0;
2. свойство частного степеней с одинаковыми основаниями при a>0;
3. свойство произведения в дробной степени при a>0 и b>0, а если и , то при a≥0 и (или) b≥0;
4. свойство частного в дробной степени при a>0 и b>0, а если , то при a≥0 и b>0;
5. свойство степени в степени при a>0, а если и , то при a≥0;
6. свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями: для любых положительных чисел a и b, a<b и рациональном p при p>0 справедливо неравенство a^p<b^p, а при p<0 – неравенство a^p>b^p;
7. свойство сравнения степеней с рациональными показателями и равными основаниями: для рациональных чисел p и q, p>q при 0<a<1 выполняется неравенство a^p<a^q, а при a>0 – неравенство a^p>a^q.

Доказательство свойств степеней с дробными показателями базируется на определении степени с дробным показателем, на свойствах арифметического корня n-ой степени и на свойствах степени с целым показателем. Приведем доказательства.

По определению степени с дробным показателем и , тогда . Свойства арифметического корня позволяют нам записать следующие равенства . Дальше, используя свойство степени с целым показателем, получаем , откуда по определению степени с дробным показателем имеем , а показатель полученной степени можно преобразовать так: . На этом доказательство завершено.

Абсолютно аналогично доказывается второе свойство степеней с дробными показателями:

По схожим принципам доказываются и остальные равенства:

Переходим к доказательству следующего свойства. Докажем, что для любых положительных a и b, a<b и рациональном p при p>0 справедливо неравенство a^p<b^p, а при p<0 – неравенство a^p>b^p. Запишем рациональное число p как m/n, где m – целое число, а n – натуральное. Условиям p<0 и p>0 в этом случае будут эквивалентны условия m<0 и m>0 соответственно. При m>0 и a<b по свойству степени с целым положительным показателем должно выполняться неравенство a^m<b^m. Из этого неравенства по свойству корней имеем , а так как a и b – положительные числа, то на основе определения степени с дробным показателем полученное неравенство можно переписать как , то есть, a^p<b^p.

Аналогично, при m<0 имеем a^m>b^m, откуда , то есть, и a^p>b^p.

Осталось доказать последнее из перечисленных свойств. Докажем, что для рациональных чисел p и q, p>q при 0<a<1 выполняется неравенство a^p<a^q, а при a>0 – неравенство a^p>a^q. Мы всегда можем привести к общему знаменателю рациональные числа p и q, пусть при этом мы получим обыкновенные дроби и , где m₁ и m₂ – целые числа, а n - натуральное. При этом условию p>q будет соответствовать условие m₁>m₂, что следует из правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Тогда по свойству сравнения степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями при 0<a<1 должно быть справедливо неравенство a^m₁<a^m₂, а при a>1 – неравенство a^m₁>a^m₂. Эти неравенства по свойствам корней можно переписать соответственно как и . А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно. Отсюда делаем окончательный вывод: при p>q и 0<a<1 выполняется неравенство a^p<a^q, а при a>0 – неравенство a^p>a^q.

Свойства степеней с иррациональными показателями

Из того, как определяется степень с иррациональным показателем, можно заключить, что она обладает всеми свойствами степеней с рациональными показателями. Так для любых a>0, b>0 и иррациональных чисел p и q справедливы следующие свойства степеней с иррациональными показателями:

1. a^p·a^q=a^p+q;
2. a^p:a^q=a^p−q;
3. (a·b)^p=a^p·b^p;
4. (a:b)^p=a^p:b^p;
5. (a^p)^q=a^p·q;
6. для любых положительных чисел a и b, a<b и иррациональном p при p>0 справедливо неравенство a^p<b^p, а при p<0 – неравенство a^p>b^p;
7. для иррациональных чисел p и q, p>q при 0<a<1 выполняется неравенство a^p<a^q, а при a>0 – неравенство a^p>a^q.

Отсюда можно сделать вывод, что степени с любыми действительными показателями p и q при a>0 обладают этими же свойствами.