Уравнения, решение уравнений Помощь в написании работ

Числовые равенства, свойства числовых равенств


Получив общее представление о равенствах в математике, можно переходить к более детальному изучению этого вопроса. В этой статье мы, во-первых, разъясним, что такое числовые равенства, а, во-вторых, изучим свойства числовых равенств.


Что такое числовое равенство?

Знакомство с числовыми равенствами начинается на самом начальном этапе изучения математики в школе. Обычно это происходит в 1 классе сразу после того, как становятся известными первые числа от 1 до 9 и после того, как обретает смысл фраза «столько же». Тогда то и появляются первые числовые равенства, например, 1=1, 3=3 и т.п., которые на этом этапе обычно называют просто равенствами без уточняющего определения «числовые».

Равенствам указанного вида на этом этапе придается количественный или порядковый смысл, который вкладывается в натуральные числа. К примеру, числовое равенство 3=3 отвечало картинке, на которой изображены две ветки дерева, на каждой из которых сидят по 3 птицы. Или когда в двух очередях третьими по порядку стоят наши товарищи Петя и Коля.

После изучения арифметических действий, появляются более разнообразные записи числовых равенств, например, 3+1=4, 7−2=5, 3·2=6, 8:4=2 и т.п. Дальше начинают встречаться числовые равенства еще более интересного вида, содержащие в своих частях различные числовые выражения, к примеру, (2+1)+3=2+(1+3), 4·(4−(1+2))+12:4−1=4·1+3−1 и тому подобные. Дальше происходит знакомство с другими видами чисел, и числовые равенства приобретают все более и более разнообразный вид.

Итак, достаточно ходить вокруг да около, пора уже дать определение числового равенства:

Определение.

Числовое равенство – это равенство, в обеих частях которого находятся числа и/или числовые выражения.

Свойства числовых равенств


Принципы работы с числовыми равенствами определяются их свойствами. А на свойствах числовых равенств в математике завязано очень многое: от свойств решения уравнений и некоторых методов решения систем уравнений до правил работы с формулами, связывающими различные величины. Этим объясняется необходимость подробного изучения свойства числовых равенств.

Свойства числовых равенств полностью согласуются с тем, как определены действия с числами, а также находятся в согласии с определением равных чисел через разность: число a равно числу b тогда и только тогда, когда разность a−b равна нулю. Ниже при описании каждого свойства мы будем прослеживать эту связь.

Основные свойства числовых равенств

Обзор свойств числовых равенств стоит начать с трех основных свойств, характерных всем без исключения равенствам. Итак, основные свойства числовых равенств это:

где a, b и c – произвольные числа.

Свойство рефлексивности числовых равенств относится к тому факту, что число равно самому себе. Например, 5=5, −2=−2, и т.п.

Несложно показать, что для любого числа a справедливо равенство a−a=0. Действительно, разность a−a можно переписать в виде суммы a+(−a), а из свойств сложения чисел мы знаем, что для любого числа a существует единственное противоположное число −a, и сумма противоположных чисел равна нулю.

Свойство симметричности числовых равенств утверждает, что если число a равно числу b, то число b равно числу a. Например, если 23=8 (смотрите степень с натуральным показателем), то 8=23.

Обоснуем это свойство через разность чисел. Условию a=b отвечает равенство a−b=0. Покажем, что b−a=0. Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус, позволяет переписать разность b−a как −(a−b), она в свою очередь равна −0, а число, противоположное нулю, есть нуль. Следовательно, b−a=0, откуда следует, что b=a.

Свойство транзитивности числовых равенств утверждает равенство двух чисел, когда они оба равны третьему числу. Например, из равенств (смотрите корень из числа) и 4=22 следует, что .

Это свойство также согласуется с определением равных чисел через разность и свойствами действий с числами. Действительно, равенствам a=b и b=c отвечают равенства a−b=0 и b−c=0. Покажем, что a−c=0, откуда будет следовать равенство чисел a и c. Так как прибавление нуля не изменяет число, то a−c можно переписать как a+0−c. Нуль заменим суммой противоположных чисел −b и b, при этом последнее выражение примет вид a+(−b+b)−c. Теперь можно выполнить группировку слагаемых следующим образом: (a−b)+(b−c). А разности в скобках есть нули, следовательно, и сумма (a−b)+(b−c) равна нулю. Этим доказано, что при условии a−b=0 и b−c=0 справедливо равенство a−c=0, откуда a=c.

Другие важные свойства

Из основных свойств числовых равенств, разобранных в предыдущем пункте, вытекает еще ряд свойств, имеющих ощутимую практическую ценность. Давайте разберем их.

И остановимся еще на двух свойствах, позволяющих складывать и умножать соответствующие части верных числовых равенств.

В заключение этой статьи запишем все разобранные свойства числовых равенств в таблицу:

Список литературы.

  • Моро М. И.. Математика. Учеб. для 1 кл. нач. шк. В 2 ч. Ч. 1. (Первое полугодие) / М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова.- 6-е изд. - М.: Просвещение, 2006. - 112 с.: ил.+Прил. (2 отд. л. ил.). - ISBN 5-09-014951-8.
  • Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+