Математика на cleverstudents.ru

Уравнения, решение уравнений

Числовые равенства, свойства числовых равенств

Получив общее представление о равенствах в математике, можно переходить к более детальному изучению этого вопроса. В этой статье мы, во-первых, разъясним, что такое числовые равенства, а, во-вторых, изучим свойства числовых равенств.

Что такое числовое равенство?

Знакомство с числовыми равенствами начинается на самом начальном этапе изучения математики в школе. Обычно это происходит в 1 классе сразу после того, как становятся известными первые числа от 1 до 9 и после того, как обретает смысл фраза «столько же». Тогда то и появляются первые числовые равенства, например, 1=1, 3=3 и т.п., которые на этом этапе обычно называют просто равенствами без уточняющего определения «числовые».

Равенствам указанного вида на этом этапе придается количественный или порядковый смысл, который вкладывается в натуральные числа. К примеру, числовое равенство 3=3 отвечало картинке, на которой изображены две ветки дерева, на каждой из которых сидят по 3 птицы. Или когда в двух очередях третьими по порядку стоят наши товарищи Петя и Коля.

После изучения арифметических действий, появляются более разнообразные записи числовых равенств, например, 3+1=4, 7−2=5, 3·2=6, 8:4=2 и т.п. Дальше начинают встречаться числовые равенства еще более интересного вида, содержащие в своих частях различные числовые выражения, к примеру, (2+1)+3=2+(1+3), 4·(4−(1+2))+12:4−1=4·1+3−1 и тому подобные. Дальше происходит знакомство с другими видами чисел, и числовые равенства приобретают все более и более разнообразный вид.

Итак, достаточно ходить вокруг да около, пора уже дать определение числового равенства:

Свойства числовых равенств

Принципы работы с числовыми равенствами определяются их свойствами. А на свойствах числовых равенств в математике завязано очень многое: от свойств решения уравнений и некоторых методов решения систем уравнений до правил работы с формулами, связывающими различные величины. Этим объясняется необходимость подробного изучения свойства числовых равенств.

Свойства числовых равенств полностью согласуются с тем, как определены действия с числами, а также находятся в согласии с определением равных чисел через разность: число a равно числу b тогда и только тогда, когда разность a−b равна нулю. Ниже при описании каждого свойства мы будем прослеживать эту связь.

Основные свойства числовых равенств

Обзор свойств числовых равенств стоит начать с трех основных свойств, характерных всем без исключения равенствам. Итак, основные свойства числовых равенств это:

• свойство рефлексивности: a=a;
• свойство симметричности: если a=b, то b=a;
• и свойство транзитивности: если a=b и b=c, то a=c,

где a, b и c – произвольные числа.

Свойство рефлексивности числовых равенств относится к тому факту, что число равно самому себе. Например, 5=5, −2=−2, и т.п.

Несложно показать, что для любого числа a справедливо равенство a−a=0. Действительно, разность a−a можно переписать в виде суммы a+(−a), а из свойств сложения чисел мы знаем, что для любого числа a существует единственное противоположное число −a, и сумма противоположных чисел равна нулю.

Свойство симметричности числовых равенств утверждает, что если число a равно числу b, то число b равно числу a. Например, если 2³=8 (смотрите степень с натуральным показателем), то 8=2³.

Обоснуем это свойство через разность чисел. Условию a=b отвечает равенство a−b=0. Покажем, что b−a=0. Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус, позволяет переписать разность b−a как −(a−b), она в свою очередь равна −0, а число, противоположное нулю, есть нуль. Следовательно, b−a=0, откуда следует, что b=a.

Свойство транзитивности числовых равенств утверждает равенство двух чисел, когда они оба равны третьему числу. Например, из равенств (смотрите корень из числа) и 4=2² следует, что .

Это свойство также согласуется с определением равных чисел через разность и свойствами действий с числами. Действительно, равенствам a=b и b=c отвечают равенства a−b=0 и b−c=0. Покажем, что a−c=0, откуда будет следовать равенство чисел a и c. Так как прибавление нуля не изменяет число, то a−c можно переписать как a+0−c. Нуль заменим суммой противоположных чисел −b и b, при этом последнее выражение примет вид a+(−b+b)−c. Теперь можно выполнить группировку слагаемых следующим образом: (a−b)+(b−c). А разности в скобках есть нули, следовательно, и сумма (a−b)+(b−c) равна нулю. Этим доказано, что при условии a−b=0 и b−c=0 справедливо равенство a−c=0, откуда a=c.

Другие важные свойства

Из основных свойств числовых равенств, разобранных в предыдущем пункте, вытекает еще ряд свойств, имеющих ощутимую практическую ценность. Давайте разберем их.

• Начнем с такого свойства: если к обеим частям верного числового равенства прибавить (или вычесть) одно и то же число, то получится верное числовое равенство. С помощью букв оно может быть записано так: если a=b, где a и b – некоторые числа, то a+c=b+c для любого числа c.

  Для обоснования составим разность (a+c)−(b+c). Ее можно преобразовать к виду (a−b)+(c−c). Так как a=b по условию, то a−b=0, и c−c=0, поэтому (a−b)+(c−c)=0+0=0. Этим доказано, что (a+c)−(b+c)=0, следовательно, a+c=b+c.

• Идем дальше: если обе части верного числового равенства умножить на любое число или разделить на отличное от нуля число, то получится верное числовое равенство. То есть, если a=b, то a·c=b·c для любого числа c, и если c отличное от нуля число, то и a:c=b:c.

  Действительно, a·c−b·c=(a−b)·c=0·c=0, откуда следует равенство произведений a·c и b·c. А деление на отличное от нуля число c можно рассматривать как умножение на обратное число 1/c.

• Из разобранного свойства числовых равенств вытекает одно полезное следствие: если a и b отличные от нуля и равные числа, то обратные им числа тоже равны. То есть, если a≠0, b≠0 и a=b, то 1/a=1/b. Последнее равенство легко доказывается: для этого достаточно обе части исходного равенства a=b разделить на отличное от нуля число, равное произведению a·b.

И остановимся еще на двух свойствах, позволяющих складывать и умножать соответствующие части верных числовых равенств.

• Если почленно сложить верные числовые равенства, то получится верное равенство. То есть, если a=b и c=d, то a+c=b+d для любых чисел a, b, c и d.

  Обоснуем это свойство числовых равенств, отталкиваясь от уже известных нам свойств. Известно, что к обеим частям верного равенства мы можем прибавить любое число. В равенстве a=b прибавим число c, а в равенстве c+d прибавим число b, в результате получим верные числовые равенства a+c=b+c и c+b=d+b, последнее из которых перепишем как b+c=b+d. Из равенств a+c=b+c и b+c=b+d по свойству транзитивности следует равенство a+c=b+d, которое и требовалось доказать.

  Заметим, что можно почленно складывать не только два верных числовых равенства, но и три, и четыре, и любое конечное их число.

• Завершаем обзор свойств числовых равенств следующим свойством: если почленно перемножить два верных числовых равенства, то получится верное равенство. Сформулируем его формально: если a=b и c=d, то a·c=b·d.

  Доказательство озвученного свойства похоже на доказательство предыдущего. Мы можем умножить обе части равенства на любое число, умножим a=b на c, а c=d на b, получаем верные числовые равенства a·c=b·c и c·b=d·b, последнее из которых перепишем в виде b·c=b·d. Тогда по свойству транзитивности из равенств a·c=b·c и b·c=b·d следует доказываемое равенство a·c=b·d.

  Заметим, что озвученное свойство справедливо для почленного умножения трех и большего числа верных числовых равенств. Из этого утверждения следует, что если a=b, то aⁿ=bⁿ для любых чисел a и b, и любого натурального числа n.

В заключение этой статьи запишем все разобранные свойства числовых равенств в таблицу: